Cálculo Ejemplos

${(\frac{1}{y^{9}})}^{6}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{6}$ y $g (y) = \frac{1}{y^{9}}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{1}{y^{9}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{9}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$6 u^{5} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{9}}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1}{y^{9}}$ .

$6 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{9}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.1

Reescribe $\frac{1}{y^{9}}$ como ${(y^{9})}^{- 1}$ .

$6 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{9})}^{- 1}]$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{9})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} \frac{d}{d y} [y^{9 \cdot - 1}]$

Paso 2.2.2

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$6 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} \frac{d}{d y} [y^{- 9}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = - 9$ .

$6 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} (- 9 y^{- 10})$

Paso 2.4

Multiplica $- 9$ por $6$ .

$- 54 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} y^{- 10}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 54 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} \frac{1}{y^{10}}$

Paso 3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{y^{9}}$ .

$- 54 \frac{1^{5}}{{(y^{9})}^{5}} \frac{1}{y^{10}}$

Paso 3.3

Combina los términos.

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Paso 3.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 54 \frac{1}{{(y^{9})}^{5}} \frac{1}{y^{10}}$

Paso 3.3.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{9})}^{5}$ .

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Paso 3.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 54 \frac{1}{y^{9 \cdot 5}} \frac{1}{y^{10}}$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $9$ por $5$ .

$- 54 \frac{1}{y^{45}} \frac{1}{y^{10}}$

Paso 3.3.3

Combina $- 54$ y $\frac{1}{y^{45}}$ .

$\frac{- 54}{y^{45}} \cdot \frac{1}{y^{10}}$

Paso 3.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{54}{y^{45}} \cdot \frac{1}{y^{10}}$

Paso 3.3.5

Multiplica $\frac{1}{y^{10}}$ por $\frac{54}{y^{45}}$ .

$- \frac{54}{y^{10} y^{45}}$

Paso 3.3.6

Multiplica $y^{10}$ por $y^{45}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.6.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{54}{y^{10 + 45}}$

Paso 3.3.6.2

Suma $10$ y $45$ .

$- \frac{54}{y^{55}}$