Cálculo Ejemplos

$\frac{y e^{x} + x e^{x} - e^{x}}{{(y + x)}^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ es $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ donde $f (y) = y e^{x} + x e^{x} - e^{x}$ y $g (y) = {(y + x)}^{2}$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} \frac{d}{d y} [y e^{x} + x e^{x} - e^{x}] - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{({(y + x)}^{2})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Multiplica los exponentes en ${({(y + x)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} \frac{d}{d y} [y e^{x} + x e^{x} - e^{x}] - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} \frac{d}{d y} [y e^{x} + x e^{x} - e^{x}] - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y e^{x} + x e^{x} - e^{x}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y e^{x}] + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} (\frac{d}{d y} [y e^{x}] + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Paso 2.3

Como $e^{x}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y e^{x}$ con respecto a $y$ es $e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Paso 2.5

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Paso 2.6

Como $x e^{x}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x e^{x}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} + 0 + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Paso 2.7

Suma $e^{x}$ y $0$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Paso 2.8

Como $- e^{x}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- e^{x}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} + 0) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Paso 2.9

Suma $e^{x}$ y $0$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{2}$ y $g (y) = y + x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y + x$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (2 u \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y + x$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (2 (y + x) \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

Paso 4

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) ((y + x) \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

Paso 4.2

Factoriza $y + x$ de ${(y + x)}^{2} e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) ((y + x) \frac{d}{d y} [y + x])$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $y + x$ de ${(y + x)}^{2} e^{x}$ .

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x}) - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) ((y + x) \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

Paso 4.2.2

Factoriza $y + x$ de $- 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) ((y + x) \frac{d}{d y} [y + x])$ .

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x}) + (y + x) (- 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))}{{(y + x)}^{4}}$

Paso 4.2.3

Factoriza $y + x$ de $(y + x) ((y + x) e^{x}) + (y + x) (- 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))$ .

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))}{{(y + x)}^{4}}$

Paso 5

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1

Factoriza $y + x$ de ${(y + x)}^{4}$ .

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))}{(y + x) {(y + x)}^{3}}$

Paso 5.2

Cancela el factor común.

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))}{(y + x) {(y + x)}^{3}}$

Paso 5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{3}}$

Paso 6

Según la regla de la suma, la derivada de $y + x$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x])}{{(y + x)}^{3}}$

Paso 7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (1 + \frac{d}{d y} [x])}{{(y + x)}^{3}}$

Paso 8

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (1 + 0)}{{(y + x)}^{3}}$

Paso 9

Simplifica la expresión.

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Paso 9.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \cdot 1}{{(y + x)}^{3}}$

Paso 9.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x})}{{(y + x)}^{3}}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y e^{x} + x e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x})}{{(y + x)}^{3}}$

Paso 10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y e^{x} + x e^{x} - 2 (y e^{x}) - 2 (x e^{x}) - 2 (- e^{x})}{{(y + x)}^{3}}$

Paso 10.3

Simplifica el numerador.

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Paso 10.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{y e^{x} + x e^{x} - 2 y e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{{(y + x)}^{3}}$

Paso 10.3.2

Resta $2 y e^{x}$ de $y e^{x}$ .

$\frac{- y e^{x} + x e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{{(y + x)}^{3}}$

Paso 10.3.3

Resta $2 x e^{x}$ de $x e^{x}$ .

$\frac{- y e^{x} - x e^{x} + 2 e^{x}}{{(y + x)}^{3}}$

Paso 10.4

Reordena los términos.

$\frac{- e^{x} y - e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x + y)}^{3}}$

Paso 10.5

Factoriza $e^{x}$ de $- e^{x} y - e^{x} x + 2 e^{x}$ .

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Paso 10.5.1

Factoriza $e^{x}$ de $- e^{x} y$ .

$\frac{e^{x} (- y) - e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x + y)}^{3}}$

Paso 10.5.2

Factoriza $e^{x}$ de $- e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (- y) + e^{x} (- x) + 2 e^{x}}{{(x + y)}^{3}}$

Paso 10.5.3

Factoriza $e^{x}$ de $2 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (- y) + e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 2}{{(x + y)}^{3}}$

Paso 10.5.4

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} (- y) + e^{x} (- x)$ .

$\frac{e^{x} (- y - x) + e^{x} \cdot 2}{{(x + y)}^{3}}$

Paso 10.5.5

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} (- y - x) + e^{x} \cdot 2$ .

$\frac{e^{x} (- y - x + 2)}{{(x + y)}^{3}}$

Paso 10.6

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$\frac{e^{x} (- (y) - x + 2)}{{(x + y)}^{3}}$

Paso 10.7

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{e^{x} (- (y) - (x) + 2)}{{(x + y)}^{3}}$

Paso 10.8

Factoriza $- 1$ de $- (y) - (x)$ .

$\frac{e^{x} (- (y + x) + 2)}{{(x + y)}^{3}}$

Paso 10.9

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{e^{x} (- (y + x) - 1 (- 2))}{{(x + y)}^{3}}$

Paso 10.10

Factoriza $- 1$ de $- (y + x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{e^{x} (- (y + x - 2))}{{(x + y)}^{3}}$

Paso 10.11

Reescribe $- (y + x - 2)$ como $- 1 (y + x - 2)$ .

$\frac{e^{x} (- 1 (y + x - 2))}{{(x + y)}^{3}}$

Paso 10.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{e^{x} (y + x - 2)}{{(x + y)}^{3}}$