Cálculo Ejemplos

$\frac{{(y - 2)}^{5}}{{(y^{2} + 4 y)}^{8}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ es $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ donde $f (y) = {(y - 2)}^{5}$ y $g (y) = {(y^{2} + 4 y)}^{8}$ .

$\frac{{(y^{2} + 4 y)}^{8} \frac{d}{d y} [{(y - 2)}^{5}] - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{8}]}{{({(y^{2} + 4 y)}^{8})}^{2}}$

Paso 2

Multiplica los exponentes en ${({(y^{2} + 4 y)}^{8})}^{2}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(y^{2} + 4 y)}^{8} \frac{d}{d y} [{(y - 2)}^{5}] - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{8 \cdot 2}}$

Paso 2.2

Multiplica $8$ por $2$ .

$\frac{{(y^{2} + 4 y)}^{8} \frac{d}{d y} [{(y - 2)}^{5}] - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{5}$ y $g (y) = y - 2$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y - 2$ .

$\frac{{(y^{2} + 4 y)}^{8} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d y} [y - 2]) - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{{(y^{2} + 4 y)}^{8} (5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d y} [y - 2]) - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y - 2$ .

$\frac{{(y^{2} + 4 y)}^{8} (5 {(y - 2)}^{4} \frac{d}{d y} [y - 2]) - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Mueve $5$ a la izquierda de ${(y^{2} + 4 y)}^{8}$ .

$\frac{5 \cdot {(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} \frac{d}{d y} [y - 2] - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 2$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]) - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} (1 + \frac{d}{d y} [- 2]) - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 4.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} (1 + 0) - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 4.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} \cdot 1 - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 4.5.2

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{8}$ y $g (y) = y^{2} + 4 y$ .

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Paso 5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y^{2} + 4 y$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} - {(y - 2)}^{5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{8}] \frac{d}{d y} [y^{2} + 4 y])}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 8$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} - {(y - 2)}^{5} (8 {u_{2}}^{7} \frac{d}{d y} [y^{2} + 4 y])}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y^{2} + 4 y$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} - {(y - 2)}^{5} (8 {(y^{2} + 4 y)}^{7} \frac{d}{d y} [y^{2} + 4 y])}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 6

Diferencia.

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Paso 6.1

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} - 8 {(y - 2)}^{5} ({(y^{2} + 4 y)}^{7} \frac{d}{d y} [y^{2} + 4 y])}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 6.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} + 4 y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 y]$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} - 8 {(y - 2)}^{5} ({(y^{2} + 4 y)}^{7} (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 y]))}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 6.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} - 8 {(y - 2)}^{5} ({(y^{2} + 4 y)}^{7} (2 y + \frac{d}{d y} [4 y]))}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 6.4

Como $4$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $4 y$ con respecto a $y$ es $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} - 8 {(y - 2)}^{5} ({(y^{2} + 4 y)}^{7} (2 y + 4 \frac{d}{d y} [y]))}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 6.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} - 8 {(y - 2)}^{5} ({(y^{2} + 4 y)}^{7} (2 y + 4 \cdot 1))}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 6.6

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} - 8 {(y - 2)}^{5} ({(y^{2} + 4 y)}^{7} (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Factoriza ${(y^{2} + 4 y)}^{7} {(y - 2)}^{4}$ de $5 {(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} - 8 {(y - 2)}^{5} ({(y^{2} + 4 y)}^{7} (2 y + 4))$ .

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Paso 7.1.1.1

Factoriza ${(y^{2} + 4 y)}^{7} {(y - 2)}^{4}$ de $5 {(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4}$ .

$\frac{{(y^{2} + 4 y)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 (y^{2} + 4 y)) - 8 {(y - 2)}^{5} ({(y^{2} + 4 y)}^{7} (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 7.1.1.2

Factoriza ${(y^{2} + 4 y)}^{7} {(y - 2)}^{4}$ de $- 8 {(y - 2)}^{5} ({(y^{2} + 4 y)}^{7} (2 y + 4))$ .

$\frac{{(y^{2} + 4 y)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 (y^{2} + 4 y)) + {(y^{2} + 4 y)}^{7} {(y - 2)}^{4} (- 8 (y - 2) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 7.1.1.3

Factoriza ${(y^{2} + 4 y)}^{7} {(y - 2)}^{4}$ de ${(y^{2} + 4 y)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 (y^{2} + 4 y)) + {(y^{2} + 4 y)}^{7} {(y - 2)}^{4} (- 8 (y - 2) (2 y + 4))$ .

$\frac{{(y^{2} + 4 y)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 (y^{2} + 4 y) - 8 (y - 2) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 7.1.2

Factoriza $y$ de $y^{2} + 4 y$ .

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Paso 7.1.2.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{{(y \cdot y + 4 y)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 (y^{2} + 4 y) - 8 (y - 2) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 7.1.2.2

Factoriza $y$ de $4 y$ .

$\frac{{(y \cdot y + y \cdot 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 (y^{2} + 4 y) - 8 (y - 2) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 7.1.2.3

Factoriza $y$ de $y \cdot y + y \cdot 4$ .

$\frac{{(y (y + 4))}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 (y^{2} + 4 y) - 8 (y - 2) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 7.1.3

Aplica la regla del producto a $y (y + 4)$ .

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 (y^{2} + 4 y) - 8 (y - 2) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 7.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 5 (4 y) - 8 (y - 2) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 7.1.5

Multiplica $4$ por $5$ .

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 8 (y - 2) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 7.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y + (- 8 y - 8 \cdot - 2) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 7.1.7

Multiplica $- 8$ por $- 2$ .

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y + (- 8 y + 16) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 7.1.8

Expande $(- 8 y + 16) (2 y + 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 7.1.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 8 y (2 y + 4) + 16 (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 7.1.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 8 y (2 y) - 8 y \cdot 4 + 16 (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 7.1.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 8 y (2 y) - 8 y \cdot 4 + 16 (2 y) + 16 \cdot 4)}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 7.1.9

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 7.1.9.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.9.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 8 \cdot 2 y \cdot y - 8 y \cdot 4 + 16 (2 y) + 16 \cdot 4)}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 7.1.9.1.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1.9.1.2.1

Mueve $y$ .

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 8 \cdot 2 (y \cdot y) - 8 y \cdot 4 + 16 (2 y) + 16 \cdot 4)}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 7.1.9.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 8 \cdot 2 y^{2} - 8 y \cdot 4 + 16 (2 y) + 16 \cdot 4)}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 7.1.9.1.3

Multiplica $- 8$ por $2$ .

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 16 y^{2} - 8 y \cdot 4 + 16 (2 y) + 16 \cdot 4)}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 7.1.9.1.4

Multiplica $4$ por $- 8$ .

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 16 y^{2} - 32 y + 16 (2 y) + 16 \cdot 4)}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 7.1.9.1.5

Multiplica $2$ por $16$ .

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 16 y^{2} - 32 y + 32 y + 16 \cdot 4)}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 7.1.9.1.6

Multiplica $16$ por $4$ .

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 16 y^{2} - 32 y + 32 y + 64)}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 7.1.9.2

Suma $- 32 y$ y $32 y$ .

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 16 y^{2} + 0 + 64)}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 7.1.9.3

Suma $- 16 y^{2}$ y $0$ .

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 16 y^{2} + 64)}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 7.1.10

Resta $16 y^{2}$ de $5 y^{2}$ .

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (- 11 y^{2} + 20 y + 64)}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Paso 7.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.1

Factoriza $y$ de $y^{2} + 4 y$ .

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Paso 7.2.1.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (- 11 y^{2} + 20 y + 64)}{{(y \cdot y + 4 y)}^{16}}$

Paso 7.2.1.2

Factoriza $y$ de $4 y$ .

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (- 11 y^{2} + 20 y + 64)}{{(y \cdot y + y \cdot 4)}^{16}}$

Paso 7.2.1.3

Factoriza $y$ de $y \cdot y + y \cdot 4$ .

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (- 11 y^{2} + 20 y + 64)}{{(y (y + 4))}^{16}}$

Paso 7.2.2

Aplica la regla del producto a $y (y + 4)$ .

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (- 11 y^{2} + 20 y + 64)}{y^{16} {(y + 4)}^{16}}$

Paso 7.3

Cancela el factor común de $y^{7}$ y $y^{16}$ .

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Paso 7.3.1

Factoriza $y^{7}$ de $y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (- 11 y^{2} + 20 y + 64)$ .

$\frac{y^{7} ({(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (- 11 y^{2} + 20 y + 64))}{y^{16} {(y + 4)}^{16}}$

Paso 7.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.2.1

Factoriza $y^{7}$ de $y^{16} {(y + 4)}^{16}$ .

$\frac{y^{7} ({(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (- 11 y^{2} + 20 y + 64))}{y^{7} (y^{9} {(y + 4)}^{16})}$

Paso 7.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{y^{7} ({(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (- 11 y^{2} + 20 y + 64))}{y^{7} (y^{9} {(y + 4)}^{16})}$

Paso 7.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{{(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (- 11 y^{2} + 20 y + 64)}{y^{9} {(y + 4)}^{16}}$

Paso 7.4

Cancela el factor común de ${(y + 4)}^{7}$ y ${(y + 4)}^{16}$ .

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Paso 7.4.1

Factoriza ${(y + 4)}^{7}$ de ${(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (- 11 y^{2} + 20 y + 64)$ .

$\frac{{(y + 4)}^{7} ({(y - 2)}^{4} (- 11 y^{2} + 20 y + 64))}{y^{9} {(y + 4)}^{16}}$

Paso 7.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.4.2.1

Factoriza ${(y + 4)}^{7}$ de $y^{9} {(y + 4)}^{16}$ .

$\frac{{(y + 4)}^{7} ({(y - 2)}^{4} (- 11 y^{2} + 20 y + 64))}{{(y + 4)}^{7} (y^{9} {(y + 4)}^{9})}$

Paso 7.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{{(y + 4)}^{7} ({(y - 2)}^{4} (- 11 y^{2} + 20 y + 64))}{{(y + 4)}^{7} (y^{9} {(y + 4)}^{9})}$

Paso 7.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{{(y - 2)}^{4} (- 11 y^{2} + 20 y + 64)}{y^{9} {(y + 4)}^{9}}$

Paso 7.5

Factoriza $- 1$ de $- 11 y^{2}$ .

$\frac{{(y - 2)}^{4} (- (11 y^{2}) + 20 y + 64)}{y^{9} {(y + 4)}^{9}}$

Paso 7.6

Factoriza $- 1$ de $20 y$ .

$\frac{{(y - 2)}^{4} (- (11 y^{2}) - (- 20 y) + 64)}{y^{9} {(y + 4)}^{9}}$

Paso 7.7

Factoriza $- 1$ de $- (11 y^{2}) - (- 20 y)$ .

$\frac{{(y - 2)}^{4} (- (11 y^{2} - 20 y) + 64)}{y^{9} {(y + 4)}^{9}}$

Paso 7.8

Reescribe $64$ como $- 1 (- 64)$ .

$\frac{{(y - 2)}^{4} (- (11 y^{2} - 20 y) - 1 (- 64))}{y^{9} {(y + 4)}^{9}}$

Paso 7.9

Factoriza $- 1$ de $- (11 y^{2} - 20 y) - 1 (- 64)$ .

$\frac{{(y - 2)}^{4} (- (11 y^{2} - 20 y - 64))}{y^{9} {(y + 4)}^{9}}$

Paso 7.10

Reescribe $- (11 y^{2} - 20 y - 64)$ como $- 1 (11 y^{2} - 20 y - 64)$ .

$\frac{{(y - 2)}^{4} (- 1 (11 y^{2} - 20 y - 64))}{y^{9} {(y + 4)}^{9}}$

Paso 7.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{{(y - 2)}^{4} (11 y^{2} - 20 y - 64)}{y^{9} {(y + 4)}^{9}}$