Cálculo Ejemplos

$y = x {(x^{3} + 7)}^{5}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x^{3} + 7)}^{5}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 7)}^{5}] + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = x^{3} + 7$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3} + 7$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 7]) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$x (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 7]) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3} + 7$ .

$x (5 {(x^{3} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 7]) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$x (5 {(x^{3} + 7)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x (5 {(x^{3} + 7)}^{4} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x (5 {(x^{3} + 7)}^{4} (3 x^{2} + 0)) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.1

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$x (5 {(x^{3} + 7)}^{4} (3 x^{2})) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$x (15 {(x^{3} + 7)}^{4} x^{2}) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} x^{1} (15 {(x^{3} + 7)}^{4}) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2 + 1} (15 {(x^{3} + 7)}^{4}) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6

Suma $2$ y $1$ .

$x^{3} (15 {(x^{3} + 7)}^{4}) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{3} (15 {(x^{3} + 7)}^{4}) + {(x^{3} + 7)}^{5} \cdot 1$

Paso 8

Multiplica ${(x^{3} + 7)}^{5}$ por $1$ .

$x^{3} (15 {(x^{3} + 7)}^{4}) + {(x^{3} + 7)}^{5}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Factoriza ${(x^{3} + 7)}^{4}$ de $x^{3} (15 {(x^{3} + 7)}^{4}) + {(x^{3} + 7)}^{5}$ .

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Paso 9.1.1

Factoriza ${(x^{3} + 7)}^{4}$ de $x^{3} (15 {(x^{3} + 7)}^{4})$ .

${(x^{3} + 7)}^{4} (x^{3} \cdot (15)) + {(x^{3} + 7)}^{5}$

Paso 9.1.2

Factoriza ${(x^{3} + 7)}^{4}$ de ${(x^{3} + 7)}^{5}$ .

${(x^{3} + 7)}^{4} (x^{3} \cdot (15)) + {(x^{3} + 7)}^{4} (x^{3} + 7)$

Paso 9.1.3

Factoriza ${(x^{3} + 7)}^{4}$ de ${(x^{3} + 7)}^{4} (x^{3} \cdot (15)) + {(x^{3} + 7)}^{4} (x^{3} + 7)$ .

${(x^{3} + 7)}^{4} (x^{3} \cdot (15) + x^{3} + 7)$

Paso 9.2

Combina los términos.

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Paso 9.2.1

Mueve $15$ a la izquierda de $x^{3}$ .

${(x^{3} + 7)}^{4} (15 \cdot x^{3} + x^{3} + 7)$

Paso 9.2.2

Suma $15 x^{3}$ y $x^{3}$ .

${(x^{3} + 7)}^{4} (16 x^{3} + 7)$