Cálculo Ejemplos

$y = x {(x^{4} + 7)}^{3}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x^{4} + 7)}^{3}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 7)}^{3}] + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x^{4} + 7$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{4} + 7$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 7]) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 7]) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4} + 7$ .

$x (3 {(x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 7]) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$x (3 {(x^{4} + 7)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7])) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$x (3 {(x^{4} + 7)}^{2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [7])) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x (3 {(x^{4} + 7)}^{2} (4 x^{3} + 0)) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.1

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$x (3 {(x^{4} + 7)}^{2} (4 x^{3})) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$x (12 {(x^{4} + 7)}^{2} x^{3}) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{3} x^{1} (12 {(x^{4} + 7)}^{2}) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{3 + 1} (12 {(x^{4} + 7)}^{2}) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6

Suma $3$ y $1$ .

$x^{4} (12 {(x^{4} + 7)}^{2}) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{4} (12 {(x^{4} + 7)}^{2}) + {(x^{4} + 7)}^{3} \cdot 1$

Paso 8

Multiplica ${(x^{4} + 7)}^{3}$ por $1$ .

$x^{4} (12 {(x^{4} + 7)}^{2}) + {(x^{4} + 7)}^{3}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Factoriza ${(x^{4} + 7)}^{2}$ de $x^{4} (12 {(x^{4} + 7)}^{2}) + {(x^{4} + 7)}^{3}$ .

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Paso 9.1.1

Factoriza ${(x^{4} + 7)}^{2}$ de $x^{4} (12 {(x^{4} + 7)}^{2})$ .

${(x^{4} + 7)}^{2} (x^{4} \cdot (12)) + {(x^{4} + 7)}^{3}$

Paso 9.1.2

Factoriza ${(x^{4} + 7)}^{2}$ de ${(x^{4} + 7)}^{3}$ .

${(x^{4} + 7)}^{2} (x^{4} \cdot (12)) + {(x^{4} + 7)}^{2} (x^{4} + 7)$

Paso 9.1.3

Factoriza ${(x^{4} + 7)}^{2}$ de ${(x^{4} + 7)}^{2} (x^{4} \cdot (12)) + {(x^{4} + 7)}^{2} (x^{4} + 7)$ .

${(x^{4} + 7)}^{2} (x^{4} \cdot (12) + x^{4} + 7)$

Paso 9.2

Combina los términos.

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Paso 9.2.1

Mueve $12$ a la izquierda de $x^{4}$ .

${(x^{4} + 7)}^{2} (12 \cdot x^{4} + x^{4} + 7)$

Paso 9.2.2

Suma $12 x^{4}$ y $x^{4}$ .

${(x^{4} + 7)}^{2} (13 x^{4} + 7)$

Paso 9.3

Reescribe ${(x^{4} + 7)}^{2}$ como $(x^{4} + 7) (x^{4} + 7)$ .

$(x^{4} + 7) (x^{4} + 7) (13 x^{4} + 7)$

Paso 9.4

Expande $(x^{4} + 7) (x^{4} + 7)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 9.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{4} (x^{4} + 7) + 7 (x^{4} + 7)) (13 x^{4} + 7)$

Paso 9.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot 7 + 7 (x^{4} + 7)) (13 x^{4} + 7)$

Paso 9.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot 7 + 7 x^{4} + 7 \cdot 7) (13 x^{4} + 7)$

Paso 9.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 9.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.5.1.1

Multiplica $x^{4}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 9.5.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(x^{4 + 4} + x^{4} \cdot 7 + 7 x^{4} + 7 \cdot 7) (13 x^{4} + 7)$

Paso 9.5.1.1.2

Suma $4$ y $4$ .

$(x^{8} + x^{4} \cdot 7 + 7 x^{4} + 7 \cdot 7) (13 x^{4} + 7)$

Paso 9.5.1.2

Mueve $7$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$(x^{8} + 7 \cdot x^{4} + 7 x^{4} + 7 \cdot 7) (13 x^{4} + 7)$

Paso 9.5.1.3

Multiplica $7$ por $7$ .

$(x^{8} + 7 x^{4} + 7 x^{4} + 49) (13 x^{4} + 7)$

Paso 9.5.2

Suma $7 x^{4}$ y $7 x^{4}$ .

$(x^{8} + 14 x^{4} + 49) (13 x^{4} + 7)$

Paso 9.6

Expande $(x^{8} + 14 x^{4} + 49) (13 x^{4} + 7)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$x^{8} (13 x^{4}) + x^{8} \cdot 7 + 14 x^{4} (13 x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Paso 9.7

Simplifica cada término.

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Paso 9.7.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$13 x^{8} x^{4} + x^{8} \cdot 7 + 14 x^{4} (13 x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Paso 9.7.2

Multiplica $x^{8}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 9.7.2.1

Mueve $x^{4}$ .

$13 (x^{4} x^{8}) + x^{8} \cdot 7 + 14 x^{4} (13 x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Paso 9.7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$13 x^{4 + 8} + x^{8} \cdot 7 + 14 x^{4} (13 x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Paso 9.7.2.3

Suma $4$ y $8$ .

$13 x^{12} + x^{8} \cdot 7 + 14 x^{4} (13 x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Paso 9.7.3

Mueve $7$ a la izquierda de $x^{8}$ .

$13 x^{12} + 7 \cdot x^{8} + 14 x^{4} (13 x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Paso 9.7.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 14 \cdot 13 x^{4} x^{4} + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Paso 9.7.5

Multiplica $x^{4}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 9.7.5.1

Mueve $x^{4}$ .

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 14 \cdot 13 (x^{4} x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Paso 9.7.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 14 \cdot 13 x^{4 + 4} + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Paso 9.7.5.3

Suma $4$ y $4$ .

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 14 \cdot 13 x^{8} + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Paso 9.7.6

Multiplica $14$ por $13$ .

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 182 x^{8} + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Paso 9.7.7

Multiplica $7$ por $14$ .

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 182 x^{8} + 98 x^{4} + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Paso 9.7.8

Multiplica $13$ por $49$ .

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 182 x^{8} + 98 x^{4} + 637 x^{4} + 49 \cdot 7$

Paso 9.7.9

Multiplica $49$ por $7$ .

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 182 x^{8} + 98 x^{4} + 637 x^{4} + 343$

Paso 9.8

Suma $7 x^{8}$ y $182 x^{8}$ .

$13 x^{12} + 189 x^{8} + 98 x^{4} + 637 x^{4} + 343$

Paso 9.9

Suma $98 x^{4}$ y $637 x^{4}$ .

$13 x^{12} + 189 x^{8} + 735 x^{4} + 343$