Cálculo Ejemplos

$y = x \ln^{2} (3 x)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln^{2} (3 x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln^{2} (3 x)] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \ln (3 x)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\ln (3 x)$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\ln (3 x)$ .

$x (2 \ln (3 x) \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x$ .

$x (2 \ln (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$x (2 \ln (3 x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x$ .

$x (2 \ln (3 x) (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Combina $\frac{1}{3 x}$ y $2$ .

$x (\frac{2}{3 x} \ln (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.2

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.1

Combina $\frac{2}{3 x}$ y $\ln (3 x)$ .

$x (\frac{2 \ln (3 x)}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.2.2

Combina $\frac{2 \ln (3 x)}{3 x}$ y $x$ .

$\frac{2 \ln (3 x) x}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.2.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \ln (3 x) x}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \ln (3 x)}{3} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 \ln (3 x)}{3} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.4

Simplifica los términos.

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Paso 4.4.1

Combina $3$ y $\frac{2 \ln (3 x)}{3}$ .

$\frac{3 (2 \ln (3 x))}{3} \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{6 \ln (3 x)}{3} \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.4.3

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 4.4.3.1

Factoriza $3$ de $6 \ln (3 x)$ .

$\frac{3 (2 \ln (3 x))}{3} \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.4.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (2 \ln (3 x))}{3 (1)} \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.4.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (2 \ln (3 x))}{3 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \ln (3 x)}{1} \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.4.3.2.4

Divide $2 \ln (3 x)$ por $1$ .

$2 \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \ln (3 x) \cdot 1 + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 \ln (3 x) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \ln (3 x) + \ln^{2} (3 x) \cdot 1$

Paso 4.8

Simplifica la expresión.

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Paso 4.8.1

Multiplica $\ln^{2} (3 x)$ por $1$ .

$2 \ln (3 x) + \ln^{2} (3 x)$

Paso 4.8.2

Reordena los términos.

$\ln^{2} (3 x) + 2 \ln (3 x)$