Cálculo Ejemplos

$y = x \ln ({(x)}^{3})$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x^{3})$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3}$ .

$x (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{x^{3}}$ y $x$ .

$\frac{x}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{3}$ .

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Paso 3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{1}}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.3.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{x^{2}} (3 x^{2}) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4

Simplifica los términos.

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Paso 3.4.1

Combina $3$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{3}{x^{2}} x^{2} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4.2

Combina $\frac{3}{x^{2}}$ y $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4.3.2

Divide $3$ por $1$ .

$3 + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 + \ln (x^{3}) \cdot 1$

Paso 3.6

Multiplica $\ln (x^{3})$ por $1$ .

$3 + \ln (x^{3})$