Cálculo Ejemplos

$y = x \coth (3 + x^{2})$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \coth (3 + x^{2})$ .

$x \frac{d}{d x} [\coth (3 + x^{2})] + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \coth (x)$ y $g (x) = 3 + x^{2}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 + x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\coth (u)] \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

La derivada de $\coth (u)$ con respecto a $u$ es $- {csch}^{2} (u)$ .

$x (- {csch}^{2} (u) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 + x^{2}$ .

$x (- {csch}^{2} (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (- {csch}^{2} (3 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x (- {csch}^{2} (3 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (- {csch}^{2} (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x (- {csch}^{2} (3 + x^{2}) (2 x)) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x (- 2 {csch}^{2} (3 + x^{2}) x) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{1} x (- 2 {csch}^{2} (3 + x^{2})) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{1} x^{1} (- 2 {csch}^{2} (3 + x^{2})) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{1 + 1} (- 2 {csch}^{2} (3 + x^{2})) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7

Suma $1$ y $1$ .

$x^{2} (- 2 {csch}^{2} (3 + x^{2})) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} (- 2 {csch}^{2} (3 + x^{2})) + \coth (3 + x^{2}) \cdot 1$

Paso 9

Simplifica la expresión.

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Paso 9.1

Multiplica $\coth (3 + x^{2})$ por $1$ .

$x^{2} (- 2 {csch}^{2} (3 + x^{2})) + \coth (3 + x^{2})$

Paso 9.2

Reordena los términos.

$- 2 x^{2} {csch}^{2} (3 + x^{2}) + \coth (3 + x^{2})$