Cálculo Ejemplos

$y = x + \frac{a}{x} - \frac{b}{x^{3}}$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \frac{a}{x} - \frac{b}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ .

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Paso 2.1

Como $a$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{a}{x}$ con respecto a $x$ es $a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$1 + a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$1 + a \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$1 + a (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$ .

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Paso 3.1

Como $- b$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{b}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $- b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3}$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3}$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Paso 3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Paso 3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Paso 3.5.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Paso 3.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Paso 3.7

Multiplica $x^{- 6}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.7.1

Mueve $x^{2}$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Paso 3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- 3 x^{2 - 6})$

Paso 3.7.3

Resta $6$ de $2$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- 3 x^{- 4})$

Paso 3.8

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$1 + a (- x^{- 2}) + 3 b x^{- 4}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + a (- \frac{1}{x^{2}}) + 3 b x^{- 4}$

Paso 4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + a (- \frac{1}{x^{2}}) + 3 b \frac{1}{x^{4}}$

Paso 4.3

Combina los términos.

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Paso 4.3.1

Combina $a$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$1 - \frac{a}{x^{2}} + 3 b \frac{1}{x^{4}}$

Paso 4.3.2

Combina $3$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$1 - \frac{a}{x^{2}} + b \frac{3}{x^{4}}$

Paso 4.3.3

Combina $b$ y $\frac{3}{x^{4}}$ .

$1 - \frac{a}{x^{2}} + \frac{b \cdot 3}{x^{4}}$

Paso 4.3.4

Mueve $3$ a la izquierda de $b$ .

$1 - \frac{a}{x^{2}} + \frac{3 b}{x^{4}}$

Paso 4.4

Reordena los términos.

$- \frac{a}{x^{2}} + \frac{3 b}{x^{4}} + 1$