Cálculo Ejemplos

$y = x + \sqrt{1 + x^{2}}$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \sqrt{1 + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x^{2}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x^{2}}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x^{2}}]$ .

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + x^{2}$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x^{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x)$

Paso 2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 x)$

Paso 2.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x)$

Paso 2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x)$

Paso 2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 x)$

Paso 2.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 x)$

Paso 2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 x)$

Paso 2.11

Suma $0$ y $2 x$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 x)$

Paso 2.12

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x)$

Paso 2.13

Combina $2$ y $\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$1 + \frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x$

Paso 2.14

Combina $\frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $x$ .

$1 + \frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}$

Paso 2.15

Mueve ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.16

Cancela el factor común.

$1 + \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.17

Reescribe la expresión.

$1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3

Reordena los términos.

$\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 1$