Cálculo Ejemplos

$y = x (9 - x^{2})$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 9 - x^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [9 - x^{2}] + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x \frac{d}{d x} [- x^{2}] + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x (- (2 x)) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x (- 2 x) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 2 (x^{1} x) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{1}) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 2 x^{1 + 1} + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6

Suma $1$ y $1$ .

$- 2 x^{2} + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 x^{2} + (9 - x^{2}) \cdot 1$

Paso 8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 8.1

Multiplica $9 - x^{2}$ por $1$ .

$- 2 x^{2} + 9 - x^{2}$

Paso 8.2

Resta $x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 9$