Cálculo Ejemplos

$y = \sin (\tan (8 x))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \tan (8 x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\tan (8 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (8 x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\tan (8 x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\tan (8 x)$ .

$\cos (\tan (8 x)) \frac{d}{d x} [\tan (8 x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = 8 x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $8 x$ .

$\cos (\tan (8 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [8 x])$

Paso 2.2

La derivada de $\tan (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\cos (\tan (8 x)) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [8 x])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $8 x$ .

$\cos (\tan (8 x)) (\sec^{2} (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\tan (8 x)) \sec^{2} (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (\tan (8 x)) \sec^{2} (8 x) (8 \cdot 1)$

Paso 3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.1

Multiplica $8$ por $1$ .

$\cos (\tan (8 x)) \sec^{2} (8 x) \cdot 8$

Paso 3.3.2

Mueve $8$ a la izquierda de $\cos (\tan (8 x)) \sec^{2} (8 x)$ .

$8 \cdot (\cos (\tan (8 x)) \sec^{2} (8 x))$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reordena los factores de $8 \cos (\tan (8 x)) \sec^{2} (8 x)$ .

$8 \sec^{2} (8 x) \cos (\tan (8 x))$

Paso 4.2

Reescribe $\sec (8 x)$ en términos de senos y cosenos.

$8 {(\frac{1}{\cos (8 x)})}^{2} \cos (\tan (8 x))$

Paso 4.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (8 x)}$ .

$8 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (8 x)} \cos (\tan (8 x))$

Paso 4.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$8 \frac{1}{\cos^{2} (8 x)} \cos (\tan (8 x))$

Paso 4.5

Combina $8$ y $\frac{1}{\cos^{2} (8 x)}$ .

$\frac{8}{\cos^{2} (8 x)} \cos (\tan (8 x))$

Paso 4.6

Combina $\frac{8}{\cos^{2} (8 x)}$ y $\cos (\tan (8 x))$ .

$\frac{8 \cos (\tan (8 x))}{\cos^{2} (8 x)}$

Paso 4.7

Factoriza $\cos (8 x)$ de $\cos^{2} (8 x)$ .

$\frac{8 \cos (\tan (8 x))}{\cos (8 x) \cos (8 x)}$

Paso 4.8

Separa las fracciones.

$\frac{8}{\cos (8 x)} \cdot \frac{\cos (\tan (8 x))}{\cos (8 x)}$

Paso 4.9

Reescribe $\frac{\cos (\tan (8 x))}{\cos (8 x)}$ como un producto.

$\frac{8}{\cos (8 x)} (\cos (\tan (8 x)) \frac{1}{\cos (8 x)})$

Paso 4.10

Escribe $\cos (\tan (8 x))$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{8}{\cos (8 x)} (\frac{\cos (\tan (8 x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (8 x)})$

Paso 4.11

Simplifica.

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Paso 4.11.1

Divide $\cos (\tan (8 x))$ por $1$ .

$\frac{8}{\cos (8 x)} (\cos (\tan (8 x)) \frac{1}{\cos (8 x)})$

Paso 4.11.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (8 x)}$ a $\sec (8 x)$ .

$\frac{8}{\cos (8 x)} (\cos (\tan (8 x)) \sec (8 x))$

Paso 4.12

Separa las fracciones.

$\frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\cos (8 x)} (\cos (\tan (8 x)) \sec (8 x))$

Paso 4.13

Convierte de $\frac{1}{\cos (8 x)}$ a $\sec (8 x)$ .

$\frac{8}{1} \sec (8 x) (\cos (\tan (8 x)) \sec (8 x))$

Paso 4.14

Divide $8$ por $1$ .

$8 \sec (8 x) (\cos (\tan (8 x)) \sec (8 x))$

Paso 4.15

Multiplica $8 \sec (8 x) (\cos (\tan (8 x)) \sec (8 x))$ .

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Paso 4.15.1

Eleva $\sec (8 x)$ a la potencia de $1$ .

$8 (\sec^{1} (8 x) \sec (8 x)) \cos (\tan (8 x))$

Paso 4.15.2

Eleva $\sec (8 x)$ a la potencia de $1$ .

$8 (\sec^{1} (8 x) \sec^{1} (8 x)) \cos (\tan (8 x))$

Paso 4.15.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 {\sec (8 x)}^{1 + 1} \cos (\tan (8 x))$

Paso 4.15.4

Suma $1$ y $1$ .

$8 \sec^{2} (8 x) \cos (\tan (8 x))$