Cálculo Ejemplos

$y = \sin (x) \cot (x)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \cot (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2

La derivada de $\cot (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc^{2} (x)$ .

$\sin (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\sin (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \cos (x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reordena los términos.

$- \csc^{2} (x) \sin (x) + \cos (x) \cot (x)$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$- {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \sin (x) + \cos (x) \cot (x)$

Paso 4.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \cot (x)$

Paso 4.2.3

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

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Paso 4.2.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ al numerador.

$\frac{- 1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \cot (x)$

Paso 4.2.3.2

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 1^{2}}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \cot (x)$

Paso 4.2.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{- 1^{2}}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \cot (x)$

Paso 4.2.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1^{2}}{\sin (x)} + \cos (x) \cot (x)$

Paso 4.2.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{- 1 \cdot 1}{\sin (x)} + \cos (x) \cot (x)$

Paso 4.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1}{\sin (x)} + \cos (x) \cot (x)$

Paso 4.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{\sin (x)} + \cos (x) \cot (x)$

Paso 4.2.7

Reescribe $\cot (x)$ en términos de senos y cosenos.

$- \frac{1}{\sin (x)} + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 4.2.8

Multiplica $\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Paso 4.2.8.1

Combina $\cos (x)$ y $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 4.2.8.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 4.2.8.3

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)}$

Paso 4.2.8.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1}{\sin (x)} + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)}$

Paso 4.2.8.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Paso 4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 1 + \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Paso 4.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Paso 4.5

Factoriza $- 1$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

Paso 4.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- 1 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

Paso 4.7

Reescribe $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ como $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

Paso 4.8

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{- \sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

Paso 4.9

Cancela el factor común de $\sin^{2} (x)$ y $\sin (x)$ .

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Paso 4.9.1

Factoriza $\sin (x)$ de $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x)}$

Paso 4.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.9.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1}$

Paso 4.9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1}$

Paso 4.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- \sin (x)}{1}$

Paso 4.9.2.4

Divide $- \sin (x)$ por $1$ .

$- \sin (x)$