Cálculo Ejemplos

$\frac{7 x^{2}}{{(7 x + 13 y)}^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Como $7 x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{7 x^{2}}{{(7 x + 13 y)}^{2}}$ con respecto a $y$ es $7 x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{2}}]$ .

$7 x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{2}}]$

Paso 1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{2}}$ como ${({(7 x + 13 y)}^{2})}^{- 1}$ .

$7 x^{2} \frac{d}{d y} [{({(7 x + 13 y)}^{2})}^{- 1}]$

Paso 1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(7 x + 13 y)}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 x^{2} \frac{d}{d y} [{(7 x + 13 y)}^{2 \cdot - 1}]$

Paso 1.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$7 x^{2} \frac{d}{d y} [{(7 x + 13 y)}^{- 2}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{- 2}$ y $g (y) = 7 x + 13 y$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $7 x + 13 y$ .

$7 x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d y} [7 x + 13 y])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$7 x^{2} (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d y} [7 x + 13 y])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $7 x + 13 y$ .

$7 x^{2} (- 2 {(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [7 x + 13 y])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Multiplica $- 2$ por $7$ .

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [7 x + 13 y])$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x + 13 y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [7 x] + \frac{d}{d y} [13 y]$ .

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} (\frac{d}{d y} [7 x] + \frac{d}{d y} [13 y]))$

Paso 3.3

Como $7 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d y} [13 y]))$

Paso 3.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [13 y]$ .

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [13 y])$

Paso 3.5

Como $13$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $13 y$ con respecto a $y$ es $13 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} (13 \frac{d}{d y} [y]))$

Paso 3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.1

Mueve $13$ a la izquierda de ${(7 x + 13 y)}^{- 3}$ .

$- 14 x^{2} (13 \cdot {(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [y])$

Paso 3.6.2

Multiplica $13$ por $- 14$ .

$- 182 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [y])$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 182 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} \cdot 1)$

Paso 3.8

Multiplica ${(7 x + 13 y)}^{- 3}$ por $1$ .

$- 182 x^{2} {(7 x + 13 y)}^{- 3}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 182 x^{2} \frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Combina $- 182$ y $\frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$ .

$x^{2} \frac{- 182}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$

Paso 4.2.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{- 182}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 182}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$

Paso 4.2.3

Mueve $- 182$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{- 182 \cdot x^{2}}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$

Paso 4.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{182 x^{2}}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$