Cálculo Ejemplos

$\frac{x y}{3 x + 8 y}$

Paso 1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{x y}{3 x + 8 y}$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [\frac{y}{3 x + 8 y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{y}{3 x + 8 y}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ es $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ donde $f (y) = y$ y $g (y) = 3 x + 8 y$ .

$x \frac{(3 x + 8 y) \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [3 x + 8 y]}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x \frac{(3 x + 8 y) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} [3 x + 8 y]}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Paso 3.2

Multiplica $3 x + 8 y$ por $1$ .

$x \frac{3 x + 8 y - y \frac{d}{d y} [3 x + 8 y]}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 8 y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [8 y]$ .

$x \frac{3 x + 8 y - y (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [8 y])}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Paso 3.4

Como $3 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$x \frac{3 x + 8 y - y (0 + \frac{d}{d y} [8 y])}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Paso 3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [8 y]$ .

$x \frac{3 x + 8 y - y \frac{d}{d y} [8 y]}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Paso 3.6

Como $8$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $8 y$ con respecto a $y$ es $8 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{3 x + 8 y - y (8 \frac{d}{d y} [y])}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Paso 3.7

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$x \frac{3 x + 8 y - 8 y \frac{d}{d y} [y]}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x \frac{3 x + 8 y - 8 y \cdot 1}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Paso 3.9

Simplifica los términos.

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Paso 3.9.1

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$x \frac{3 x + 8 y - 8 y}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Paso 3.9.2

Resta $8 y$ de $8 y$ .

$x \frac{3 x + 0}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Paso 3.9.3

Suma $3 x$ y $0$ .

$x \frac{3 x}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Paso 3.9.4

Combina $x$ y $\frac{3 x}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$ .

$\frac{x (3 x)}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Paso 4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 (x^{1} x)}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Paso 5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 (x^{1} x^{1})}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Paso 6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x^{1 + 1}}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Paso 7

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 x^{2}}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$