Cálculo Ejemplos

$x e^{\frac{x}{y}}$

Paso 1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x e^{\frac{x}{y}}$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [e^{\frac{x}{y}}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{\frac{x}{y}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = e^{y}$ y $g (y) = \frac{x}{y}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{y}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{y}$ .

$x (e^{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}])$

Paso 3

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{x}{y}$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x (e^{\frac{x}{y}} (x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

Paso 4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{1} x (e^{\frac{x}{y}} (\frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

Paso 5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{1} x^{1} (e^{\frac{x}{y}} (\frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

Paso 6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{1 + 1} (e^{\frac{x}{y}} (\frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Suma $1$ y $1$ .

$x^{2} (e^{\frac{x}{y}} (\frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

Paso 7.2

Reescribe $\frac{1}{y}$ como $y^{- 1}$ .

$x^{2} (e^{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [y^{- 1}])$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$x^{2} (e^{\frac{x}{y}} (- y^{- 2}))$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (e^{\frac{x}{y}} (- \frac{1}{y^{2}}))$

Paso 9.2

Combina los términos.

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Paso 9.2.1

Combina $e^{\frac{x}{y}}$ y $\frac{1}{y^{2}}$ .

$x^{2} (- \frac{e^{\frac{x}{y}}}{y^{2}})$

Paso 9.2.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{e^{\frac{x}{y}}}{y^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} e^{\frac{x}{y}}}{y^{2}}$