Cálculo Ejemplos

$x^{5} + z \sin (x y z)$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{5} + z \sin (x y z)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [z \sin (x y z)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [z \sin (x y z)]$

Paso 1.2

Como $x^{5}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x^{5}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [z \sin (x y z)]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d y} [z \sin (x y z)]$ .

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Paso 2.1

Como $z$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $z \sin (x y z)$ con respecto a $y$ es $z \frac{d}{d y} [\sin (x y z)]$ .

$0 + z \frac{d}{d y} [\sin (x y z)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = \sin (y)$ y $g (y) = x y z$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x y z$ .

$0 + z (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [x y z])$

Paso 2.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$0 + z (\cos (u) \frac{d}{d y} [x y z])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x y z$ .

$0 + z (\cos (x y z) \frac{d}{d y} [x y z])$

Paso 2.3

Como $x z$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x y z$ con respecto a $y$ es $x z \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + z (\cos (x y z) (x z \frac{d}{d y} [y]))$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + z (\cos (x y z) (x z \cdot 1))$

Paso 2.5

Multiplica $x$ por $1$ .

$0 + z (\cos (x y z) (x z))$

Paso 2.6

Eleva $z$ a la potencia de $1$ .

$0 + z^{1} z (\cos (x y z) (x))$

Paso 2.7

Eleva $z$ a la potencia de $1$ .

$0 + z^{1} z^{1} (\cos (x y z) (x))$

Paso 2.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$0 + z^{1 + 1} (\cos (x y z) (x))$

Paso 2.9

Suma $1$ y $1$ .

$0 + z^{2} (\cos (x y z) (x))$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Suma $0$ y $z^{2} (\cos (x y z) (x))$ .

$z^{2} (\cos (x y z) (x))$

Paso 3.2

Reordena los factores de $z^{2} (\cos (x y z) (x))$ .

$z^{2} x \cos (x y z)$