Cálculo Ejemplos

$\frac{x - y}{x + y}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ es $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ donde $f (y) = x - y$ y $g (y) = x + y$ .

$\frac{(x + y) \frac{d}{d y} [x - y] - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{(x + y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 2.2

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{(x + y) (0 + \frac{d}{d y} [- y]) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{(x + y) \frac{d}{d y} [- y] - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{(x + y) (- \frac{d}{d y} [y]) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x + y) (- 1 \cdot 1) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x + y) \cdot - 1 - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 2.6.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x + y$ .

$\frac{- 1 \cdot (x + y) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 2.6.3

Reescribe $- 1 (x + y)$ como $- (x + y)$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 2.8

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y) (0 + \frac{d}{d y} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 2.9

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y) \frac{d}{d y} [y]}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 2.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y) \cdot 1}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 2.11

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x - y - (x - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x - y - x - - y}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1

Multiplica $- - y$ .

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Paso 3.3.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x - y - x + 1 y}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{- x - y - x + y}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Combina los términos opuestos en $- x - y - x + y$ .

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Paso 3.3.2.1

Suma $- y$ y $y$ .

$\frac{- x - x + 0}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 3.3.2.2

Suma $- x - x$ y $0$ .

$\frac{- x - x}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Resta $x$ de $- x$ .

$\frac{- 2 x}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 x}{{(x + y)}^{2}}$