Cálculo Ejemplos

$(e^{x} + 1) (e^{- x} + 1)$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Expande $(e^{x} + 1) (e^{- x} + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int e^{x} (e^{- x} + 1) + 1 (e^{- x} + 1) d x$

Paso 1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int e^{x} e^{- x} + e^{x} \cdot 1 + 1 (e^{- x} + 1) d x$

Paso 1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int e^{x} e^{- x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

Paso 1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1

Multiplica $e^{x}$ por $e^{- x}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int e^{x - x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

Paso 1.2.1.1.2

Resta $x$ de $x$ .

$\int e^{0} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

Paso 1.2.1.2

Simplifica $e^{0}$ .

$\int 1 + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

Paso 1.2.1.3

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$\int 1 + e^{x} + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

Paso 1.2.1.4

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$\int 1 + e^{x} + e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

Paso 1.2.1.5

Multiplica $1$ por $1$ .

$\int 1 + e^{x} + e^{- x} + 1 d x$

Paso 1.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$\int 2 + e^{x} + e^{- x} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 2 d x + \int e^{x} d x + \int e^{- x} d x$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$2 x + C + \int e^{x} d x + \int e^{- x} d x$

Paso 4

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$2 x + C + e^{x} + C + \int e^{- x} d x$

Paso 5

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 5.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 x + C + e^{x} + C + \int - e^{u} d u$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 x + C + e^{x} + C - \int e^{u} d u$

Paso 7

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$2 x + C + e^{x} + C - (e^{u} + C)$

Paso 8

Simplifica.

$2 x + e^{x} - e^{u} + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$2 x + e^{x} - e^{- x} + C$