Cálculo Ejemplos

$\frac{(x + 2) (2 x - 5)}{x}$

Paso 1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{x (2 x - 5) + 2 (2 x - 5)}{x} d x$

Paso 2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{x (2 x) + x \cdot - 5 + 2 (2 x - 5)}{x} d x$

Paso 3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{x (2 x) + x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{x} d x$

Paso 4

Simplifica con la conmutatividad.

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Paso 4.1

Reordena $x$ y $2$ .

$\int \frac{2 \cdot x \cdot x + x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{x} d x$

Paso 4.2

Reordena $x$ y $- 5$ .

$\int \frac{2 \cdot x \cdot x - 5 \cdot x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{x} d x$

Paso 5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{2 (x^{1} x) - 5 x + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 5}{x} d x$

Paso 6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{2 (x^{1} x^{1}) - 5 x + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 5}{x} d x$

Paso 7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{2 x^{1 + 1} - 5 x + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 5}{x} d x$

Paso 8

Simplifica la expresión.

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Paso 8.1

Suma $1$ y $1$ .

$\int \frac{2 x^{2} - 5 x + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 5}{x} d x$

Paso 8.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int \frac{2 x^{2} - 5 x + 4 x + 2 \cdot - 5}{x} d x$

Paso 8.3

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$\int \frac{2 x^{2} - 5 x + 4 x - 10}{x} d x$

Paso 9

Suma $- 5 x$ y $4 x$ .

$\int \frac{2 x^{2} - x - 10}{x} d x$

Paso 10

Divide $2 x^{2} - x - 10$ por $x$ .

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Paso 10.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$x$

$10$

Paso 10.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$2 x$
	$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$

Paso 10.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			+	$2 x^{2}$	+	$0$

Paso 10.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{2} + 0$ .

				$2 x$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			-	$2 x^{2}$	-	$0$

Paso 10.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			-	$2 x^{2}$	-	$0$
					-	$x$

Paso 10.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$2 x$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			-	$2 x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$10$

Paso 10.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$2 x$	-	$1$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			-	$2 x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$10$

Paso 10.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x$	-	$1$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			-	$2 x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$10$
					-	$x$	+	$0$

Paso 10.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x + 0$ .

				$2 x$	-	$1$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			-	$2 x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$10$
					+	$x$	-	$0$

Paso 10.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x$	-	$1$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			-	$2 x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$10$
					+	$x$	-	$0$
							-	$10$

Paso 10.11

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int 2 x - 1 - \frac{10}{x} d x$

Paso 11

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 2 x d x + \int - 1 d x + \int - \frac{10}{x} d x$

Paso 12

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int x d x + \int - 1 d x + \int - \frac{10}{x} d x$

Paso 13

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 d x + \int - \frac{10}{x} d x$

Paso 14

Aplica la regla de la constante.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C + \int - \frac{10}{x} d x$

Paso 15

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C + \int - \frac{10}{x} d x$

Paso 16

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C - \int \frac{10}{x} d x$

Paso 17

Dado que $10$ es constante con respecto a $x$ , mueve $10$ fuera de la integral.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C - (10 \int \frac{1}{x} d x)$

Paso 18

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C - 10 \int \frac{1}{x} d x$

Paso 19

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C - 10 (\ln (| x |) + C)$

Paso 20

Simplifica.

$x^{2} - x - 10 \ln (| x |) + C$