Cálculo Ejemplos

$\frac{x - 1}{x^{2} + 6 x + 9}$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{x - 1}{x^{2} + 6 x + 3^{2}}$

Paso 1.1.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Paso 1.1.1.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{x - 1}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}$

Paso 1.1.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{x - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3

$\frac{A}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{B}{x + 3}$

Paso 1.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es ${(x + 3)}^{2}$ .

$\frac{(x - 1) {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Paso 1.1.5

Cancela el factor común de ${(x + 3)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 1) {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Paso 1.1.5.2

Divide $x - 1$ por $1$ .

$x - 1 = \frac{(A) {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Paso 1.1.6

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.6.1

Cancela el factor común de ${(x + 3)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$x - 1 = \frac{A {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Paso 1.1.6.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$x - 1 = A + \frac{(B) {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Paso 1.1.6.2

Cancela el factor común de ${(x + 3)}^{2}$ y $x + 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.6.2.1

Factoriza $x + 3$ de $(B) {(x + 3)}^{2}$ .

$x - 1 = A + \frac{(x + 3) (B (x + 3))}{x + 3}$

Paso 1.1.6.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.6.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$x - 1 = A + \frac{(x + 3) (B (x + 3))}{(x + 3) \cdot 1}$

Paso 1.1.6.2.2.2

Cancela el factor común.

$x - 1 = A + \frac{(x + 3) (B (x + 3))}{(x + 3) \cdot 1}$

Paso 1.1.6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x - 1 = A + \frac{B (x + 3)}{1}$

Paso 1.1.6.2.2.4

Divide $B (x + 3)$ por $1$ .

$x - 1 = A + B (x + 3)$

Paso 1.1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x - 1 = A + B x + B \cdot 3$

Paso 1.1.6.4

Mueve $3$ a la izquierda de $B$ .

$x - 1 = A + B x + 3 B$

Paso 1.1.7

Reordena $A$ y $B x$ .

$x - 1 = B x + A + 3 B$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = B$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 1 = A + 3 B$

Paso 1.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$1 = B$

$- 1 = A + 3 B$

$1 = B$

$- 1 = A + 3 B$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Reescribe la ecuación como $B = 1$ .

$B = 1$

$- 1 = A + 3 B$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $B$ por $1$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $- 1 = A + 3 B$ por $1$ .

$- 1 = A + 3 (1)$

$B = 1$

Paso 1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.2.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$- 1 = A + 3$

$B = 1$

$- 1 = A + 3$

$B = 1$

$- 1 = A + 3$

$B = 1$

Paso 1.3.3

Resuelve $A$ en $- 1 = A + 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $A + 3 = - 1$ .

$A + 3 = - 1$

$B = 1$

Paso 1.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $A$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$A = - 1 - 3$

$B = 1$

Paso 1.3.3.2.2

Resta $3$ de $- 1$ .

$A = - 4$

$B = 1$

$A = - 4$

$B = 1$

$A = - 4$

$B = 1$

Paso 1.3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$A = - 4 B = 1$

Paso 1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = - 4, B = 1$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{B}{x + 3}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{- 4}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{1}{x + 3}$

Paso 1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - \frac{4}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{1}{x + 3} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - \frac{4}{{(x + 3)}^{2}} d x + \int \frac{1}{x + 3} d x$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{4}{{(x + 3)}^{2}} d x + \int \frac{1}{x + 3} d x$

Paso 4

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$- (4 \int \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} d x) + \int \frac{1}{x + 3} d x$

Paso 5

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 4 \int \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} d x + \int \frac{1}{x + 3} d x$

Paso 6

Sea $u_{1} = x + 3$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Deja $u_{1} = x + 3$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1

Diferencia $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Paso 6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 6.1.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 6.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$- 4 \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 3} d x$

Paso 7

Aplica reglas básicas de exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Mueve ${u_{1}}^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- 4 \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 3} d x$

Paso 7.2

Multiplica los exponentes en ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 3} d x$

Paso 7.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 4 \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 3} d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{1}}^{- 2}$ con respecto a $u_{1}$ es $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- 4 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{x + 3} d x$

Paso 9

Sea $u_{2} = x + 3$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Deja $u_{2} = x + 3$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Diferencia $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Paso 9.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 9.1.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 9.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 9.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- 4 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 10

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$- 4 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 11

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Simplifica.

$- 4 (- \frac{1}{u_{1}}) + \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 11.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$4 \frac{1}{u_{1}} + \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 11.2.2

Combina $4$ y $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{4}{u_{1}} + \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 12

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x + 3$ .

$\frac{4}{x + 3} + \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 12.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + 3$ .

$\frac{4}{x + 3} + \ln (| x + 3 |) + C$