Cálculo Ejemplos

$(4 x^{3} - \csc (2 x + 3) \cot (2 x + 3) - \sqrt[5]{6 - 5 x}) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int 4 x^{3} - \csc (2 x + 3) \cot (2 x + 3) - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 4 x^{3} d x + \int - \csc (2 x + 3) \cot (2 x + 3) d x + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Paso 3

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int x^{3} d x + \int - \csc (2 x + 3) \cot (2 x + 3) d x + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - \csc (2 x + 3) \cot (2 x + 3) d x + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int \csc (2 x + 3) \cot (2 x + 3) d x + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Paso 6

Sea $u_{1} = 2 x + 3$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 6.1

Deja $u_{1} = 2 x + 3$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Paso 6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 6.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 6.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 6.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 6.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 6.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 6.1.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 6.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \int \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Paso 7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\csc (u_{1})$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \int \frac{\csc (u_{1})}{2} \cot (u_{1}) d u_{1} + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Paso 7.3

Combina $\frac{\csc (u_{1})}{2}$ y $\cot (u_{1})$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \int \frac{\csc (u_{1}) \cot (u_{1})}{2} d u_{1} + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - (\frac{1}{2} \int \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) d u_{1}) + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Paso 9

Como la derivada de $- \csc (u_{1})$ es $\csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ , la integral de $\csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ es $- \csc (u_{1})$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Paso 10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) - \int \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Paso 11

Sea $u_{2} = 6 - 5 x$ . Entonces $d u_{2} = - 5 d x$ , de modo que $- \frac{1}{5} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 11.1

Deja $u_{2} = 6 - 5 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 11.1.1

Diferencia $6 - 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 - 5 x]$

Paso 11.1.2

Diferencia.

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Paso 11.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 - 5 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 11.1.2.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 11.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Paso 11.1.3.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 11.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Paso 11.1.3.3

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$0 - 5$

Paso 11.1.4

Resta $5$ de $0$ .

$- 5$

Paso 11.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) - \int \sqrt[5]{u_{2}} \frac{1}{- 5} d u_{2}$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) - \int \sqrt[5]{u_{2}} (- \frac{1}{5}) d u_{2}$

Paso 12.2

Combina $\sqrt[5]{u_{2}}$ y $\frac{1}{5}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) - \int - \frac{\sqrt[5]{u_{2}}}{5} d u_{2}$

Paso 13

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) - - \int \frac{\sqrt[5]{u_{2}}}{5} d u_{2}$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) + 1 \int \frac{\sqrt[5]{u_{2}}}{5} d u_{2}$

Paso 14.2

Multiplica $\int \frac{\sqrt[5]{u_{2}}}{5} d u_{2}$ por $1$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) + \int \frac{\sqrt[5]{u_{2}}}{5} d u_{2}$

Paso 15

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) + \frac{1}{5} \int \sqrt[5]{u_{2}} d u_{2}$

Paso 16

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{u_{2}}$ como ${u_{2}}^{\frac{1}{5}}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) + \frac{1}{5} \int {u_{2}}^{\frac{1}{5}} d u_{2}$

Paso 17

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{\frac{1}{5}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{5}{6} {u_{2}}^{\frac{6}{5}}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) + \frac{1}{5} (\frac{5}{6} {u_{2}}^{\frac{6}{5}} + C)$

Paso 18

Simplifica.

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Paso 18.1

Simplifica.

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{1}{5} (\frac{5}{6} {u_{2}}^{\frac{6}{5}}) + C$

Paso 18.2

Simplifica.

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Paso 18.2.1

Combina $\frac{5}{6}$ y ${u_{2}}^{\frac{6}{5}}$ .

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{1}{5} \cdot \frac{5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{6} + C$

Paso 18.2.2

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{6}$ .

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{5 \cdot 6} + C$

Paso 18.2.3

Multiplica $5$ por $6$ .

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{30} + C$

Paso 18.2.4

Factoriza $5$ de $5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}$ .

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{5 ({u_{2}}^{\frac{6}{5}})}{30} + C$

Paso 18.2.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 18.2.5.1

Factoriza $5$ de $30$ .

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{5 \cdot 6} + C$

Paso 18.2.5.2

Cancela el factor común.

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{5 \cdot 6} + C$

Paso 18.2.5.3

Reescribe la expresión.

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{{u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{6} + C$

Paso 19

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 19.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x + 3$ .

$x^{4} + \frac{\csc (2 x + 3)}{2} + \frac{{u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{6} + C$

Paso 19.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $6 - 5 x$ .

$x^{4} + \frac{\csc (2 x + 3)}{2} + \frac{{(6 - 5 x)}^{\frac{6}{5}}}{6} + C$

Paso 20

Reordena los términos.

$x^{4} + \frac{1}{2} \csc (2 x + 3) + \frac{1}{6} {(6 - 5 x)}^{\frac{6}{5}} + C$