Cálculo Ejemplos

$z \ln (x^{2} y \cos (z))$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ es $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ donde $f (z) = z$ y $g (z) = \ln (x^{2} y \cos (z))$ .

$z \frac{d}{d z} [\ln (x^{2} y \cos (z))] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ es $f' (g (z)) g' (z)$ donde $f (z) = \ln (z)$ y $g (z) = x^{2} y \cos (z)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} y \cos (z)$ .

$z (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d z} [x^{2} y \cos (z)]) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$z (\frac{1}{u} \frac{d}{d z} [x^{2} y \cos (z)]) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} y \cos (z)$ .

$z (\frac{1}{x^{2} y \cos (z)} \frac{d}{d z} [x^{2} y \cos (z)]) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Paso 3

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{x^{2} y \cos (z)}$ y $z$ .

$\frac{z}{x^{2} y \cos (z)} \frac{d}{d z} [x^{2} y \cos (z)] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Paso 3.2

Como $x^{2} y$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $x^{2} y \cos (z)$ con respecto a $z$ es $x^{2} y \frac{d}{d z} [\cos (z)]$ .

$\frac{z}{x^{2} y \cos (z)} (x^{2} y \frac{d}{d z} [\cos (z)]) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Paso 3.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{z}{x^{2} y \cos (z)}$ .

$\frac{x^{2} z}{x^{2} y \cos (z)} (y \frac{d}{d z} [\cos (z)]) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Paso 3.3.2

Combina $y$ y $\frac{x^{2} z}{x^{2} y \cos (z)}$ .

$\frac{y (x^{2} z)}{x^{2} y \cos (z)} \frac{d}{d z} [\cos (z)] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Paso 3.3.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y x^{2} z}{x^{2} y \cos (z)} \frac{d}{d z} [\cos (z)] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Paso 3.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} z}{x^{2} \cos (z)} \frac{d}{d z} [\cos (z)] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Paso 3.3.4

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} z}{x^{2} \cos (z)} \frac{d}{d z} [\cos (z)] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Paso 3.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{z}{\cos (z)} \frac{d}{d z} [\cos (z)] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Paso 4

La derivada de $\cos (z)$ con respecto a $z$ es $- \sin (z)$ .

$\frac{z}{\cos (z)} (- \sin (z)) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Paso 5

Combina $\frac{z}{\cos (z)}$ y $\sin (z)$ .

$- \frac{z \sin (z)}{\cos (z)} + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Paso 6

Convierte de $\frac{z \sin (z)}{\cos (z)}$ a $z \tan (z)$ .

$- (z \tan (z)) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Paso 7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- z \tan (z) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \cdot 1$

Paso 8

Multiplica $\ln (x^{2} y \cos (z))$ por $1$ .

$- z \tan (z) + \ln (x^{2} y \cos (z))$