Cálculo Ejemplos

$p (z) = z {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ es $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ donde $f (z) = z$ y $g (z) = {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

$z \frac{d}{d z} [{(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}}] + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ es $f' (g (z)) g' (z)$ donde $f (z) = z^{\frac{4}{3}}$ y $g (z) = 6 z + 1$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 z + 1$ .

$z (\frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{4}{3}$ .

$z (\frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 z + 1$ .

$z (\frac{4}{3} {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$z (\frac{4}{3} {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$z (\frac{4}{3} {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$z (\frac{4}{3} {(6 z + 1)}^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$z (\frac{4}{3} {(6 z + 1)}^{\frac{4 - 3}{3}} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Paso 6.2

Resta $3$ de $4$ .

$z (\frac{4}{3} {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Combina $\frac{4}{3}$ y ${(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$z (\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Paso 7.2

Combina $\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ y $z$ .

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} \frac{d}{d z} [6 z + 1] + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Paso 8

Según la regla de la suma, la derivada de $6 z + 1$ con respecto a $z$ es $\frac{d}{d z} [6 z] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} (\frac{d}{d z} [6 z] + \frac{d}{d z} [1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Paso 9

Como $6$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $6 z$ con respecto a $z$ es $6 \frac{d}{d z} [z]$ .

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} (6 \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Paso 10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Paso 11

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} (6 + \frac{d}{d z} [1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Paso 12

Como $1$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $1$ con respecto a $z$ es $0$ .

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} (6 + 0) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Paso 13

Simplifica los términos.

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Paso 13.1

Suma $6$ y $0$ .

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} \cdot 6 + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Paso 13.2

Combina $\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3}$ y $6$ .

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z \cdot 6}{3} + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Paso 13.3

Multiplica $6$ por $4$ .

$\frac{24 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Paso 13.4

Factoriza $3$ de $24 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z$ .

$\frac{3 (8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z)}{3} + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Paso 14

Cancela los factores comunes.

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Paso 14.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z)}{3 (1)} + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Paso 14.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z)}{3 \cdot 1} + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Paso 14.3

Reescribe la expresión.

$\frac{8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{1} + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Paso 14.4

Divide $8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z$ por $1$ .

$8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Paso 15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \cdot 1$

Paso 16

Simplifica la expresión.

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Paso 16.1

Multiplica ${(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}}$ por $1$ .

$8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}}$

Paso 16.2

Reordena los términos.

$8 z {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}}$