Cálculo Ejemplos

$\arctan (\frac{x + y}{1 - x y})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = \arctan (y)$ y $g (y) = \frac{x + y}{1 - x y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x + y}{1 - x y}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d y} [\frac{x + y}{1 - x y}]$

Paso 1.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d y} [\frac{x + y}{1 - x y}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x + y}{1 - x y}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \frac{d}{d y} [\frac{x + y}{1 - x y}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ es $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ donde $f (y) = x + y$ y $g (y) = 1 - x y$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) \frac{d}{d y} [x + y] - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Paso 3.2

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) (0 + \frac{d}{d y} [y]) - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Paso 3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) \frac{d}{d y} [y] - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) \cdot 1 - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Paso 3.5

Multiplica $1 - x y$ por $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Paso 3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x y]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

Paso 3.7

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) (0 + \frac{d}{d y} [- x y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

Paso 3.8

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [- x y]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) \frac{d}{d y} [- x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Paso 3.9

Como $- x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- x y$ con respecto a $y$ es $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) (- x \frac{d}{d y} [y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

Paso 3.10

Multiplica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.10.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + 1 (x + y) (x \frac{d}{d y} [y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

Paso 3.10.2

Multiplica $x + y$ por $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + (x + y) (x \frac{d}{d y} [y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

Paso 3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + (x + y) x \cdot 1}{{(1 - x y)}^{2}}$

Paso 3.12

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.12.1

Multiplica $x + y$ por $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + x \cdot (x + y)}{{(1 - x y)}^{2}}$

Paso 3.12.2

Multiplica $\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}}$ por $\frac{1 - x y + x (x + y)}{{(1 - x y)}^{2}}$ .

$\frac{1 - x y + x (x + y)}{(1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}) {(1 - x y)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x + y}{1 - x y}$ .

$\frac{1 - x y + x (x + y)}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 - x y + x \cdot x + x y}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Paso 4.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Combina los términos opuestos en $1 - x y + x \cdot x + x y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.1

Suma $- x y$ y $x y$ .

$\frac{1 + x \cdot x + 0}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Paso 4.3.1.2

Suma $1 + x \cdot x$ y $0$ .

$\frac{1 + x \cdot x}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Paso 4.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{1 + x^{2}}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Paso 4.4

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1 + x^{2}}{(\frac{{(1 - x y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}} + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Paso 4.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + x^{2}}{\frac{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}} {(1 - x y)}^{2}}$

Paso 4.4.3

Combina $\frac{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}$ y ${(1 - x y)}^{2}$ .

$\frac{1 + x^{2}}{\frac{({(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}) {(1 - x y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}}$

Paso 4.4.4

Cancela el factor común de ${(1 - x y)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 + x^{2}}{\frac{({(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}) {(1 - x y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}}$

Paso 4.4.4.2

Divide ${(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}$ por $1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}$

Paso 4.5

Reordena los términos.

$\frac{x^{2} + 1}{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}$

Paso 4.6

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1

Reescribe ${(1 - x y)}^{2}$ como $(1 - x y) (1 - x y)$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(1 - x y) (1 - x y) + {(x + y)}^{2}}$

Paso 4.6.2

Expande $(1 - x y) (1 - x y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 1}{1 (1 - x y) - x y (1 - x y) + {(x + y)}^{2}}$

Paso 4.6.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 1}{1 \cdot 1 + 1 (- x y) - x y (1 - x y) + {(x + y)}^{2}}$

Paso 4.6.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 1}{1 \cdot 1 + 1 (- x y) - x y \cdot 1 - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

Paso 4.6.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 + 1 (- x y) - x y \cdot 1 - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

Paso 4.6.3.1.2

Multiplica $- x y$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y \cdot 1 - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

Paso 4.6.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

Paso 4.6.3.1.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.3.1.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - (x \cdot x) y (- 1 y) + {(x + y)}^{2}}$

Paso 4.6.3.1.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x^{2} y (- 1 y) + {(x + y)}^{2}}$

Paso 4.6.3.1.5

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.3.1.5.1

Mueve $y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x^{2} (y \cdot y) \cdot - 1 + {(x + y)}^{2}}$

Paso 4.6.3.1.5.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x^{2} y^{2} \cdot - 1 + {(x + y)}^{2}}$

Paso 4.6.3.1.6

Multiplica $- x^{2} y^{2} \cdot - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.3.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y + 1 x^{2} y^{2} + {(x + y)}^{2}}$

Paso 4.6.3.1.6.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y + x^{2} y^{2} + {(x + y)}^{2}}$

Paso 4.6.3.2

Resta $x y$ de $- x y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + {(x + y)}^{2}}$

Paso 4.6.4

Reescribe ${(x + y)}^{2}$ como $(x + y) (x + y)$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + (x + y) (x + y)}$

Paso 4.6.5

Expande $(x + y) (x + y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x (x + y) + y (x + y)}$

Paso 4.6.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x \cdot x + x y + y (x + y)}$

Paso 4.6.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x \cdot x + x y + y x + y \cdot y}$

Paso 4.6.6

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.6.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.6.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + x y + y x + y \cdot y}$

Paso 4.6.6.1.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + x y + y x + y^{2}}$

Paso 4.6.6.2

Suma $x y$ y $y x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.6.2.1

Reordena $y$ y $x$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + x y + x y + y^{2}}$

Paso 4.6.6.2.2

Suma $x y$ y $x y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + 2 x y + y^{2}}$

Paso 4.6.7

Suma $- 2 x y$ y $2 x y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 + x^{2} y^{2} + x^{2} + 0 + y^{2}}$

Paso 4.6.8

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} y^{2} + x^{2} + 1 + y^{2}}$

Paso 4.6.9

Reescribe $x^{2} y^{2} + x^{2} + 1 + y^{2}$ en forma factorizada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.9.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.9.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{x^{2} + 1}{(x^{2} y^{2} + x^{2}) + 1 + y^{2}}$

Paso 4.6.9.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} (y^{2} + 1) + 1 (y^{2} + 1)}$

Paso 4.6.9.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $y^{2} + 1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(y^{2} + 1) (x^{2} + 1)}$

Paso 4.7

Cancela el factor común de $x^{2} + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} + 1}{(y^{2} + 1) (x^{2} + 1)}$

Paso 4.7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{2} + 1}$