Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{z - 1} - \frac{1}{z}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{z - 1} - \frac{1}{z}$ con respecto a $z$ es $\frac{d}{d z} [\frac{1}{z - 1}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$ .

$\frac{d}{d z} [\frac{1}{z - 1}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d z} [\frac{1}{z - 1}]$ .

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Paso 2.1

Reescribe $\frac{1}{z - 1}$ como ${(z - 1)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d z} [{(z - 1)}^{- 1}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ es $f' (g (z)) g' (z)$ donde $f (z) = z^{- 1}$ y $g (z) = z - 1$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $z - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d z} [z - 1] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d z} [z - 1] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $z - 1$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} \frac{d}{d z} [z - 1] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $z - 1$ con respecto a $z$ es $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 1]$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 1]) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d z} [- 1]) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Paso 2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $z$ es $0$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} (1 + 0) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Paso 2.6

Suma $1$ y $0$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} \cdot 1 + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Paso 2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$ .

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ es $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ donde $f (z) = - 1$ y $g (z) = \frac{1}{z}$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} - \frac{d}{d z} [\frac{1}{z}] + \frac{1}{z} \frac{d}{d z} [- 1]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{1}{z}$ como $z^{- 1}$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} - \frac{d}{d z} [z^{- 1}] + \frac{1}{z} \frac{d}{d z} [- 1]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} - - z^{- 2} + \frac{1}{z} \frac{d}{d z} [- 1]$

Paso 3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $z$ es $0$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} - - z^{- 2} + \frac{1}{z} \cdot 0$

Paso 3.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} + 1 z^{- 2} + \frac{1}{z} \cdot 0$

Paso 3.6

Multiplica $z^{- 2}$ por $1$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} + z^{- 2} + \frac{1}{z} \cdot 0$

Paso 3.7

Multiplica $\frac{1}{z}$ por $0$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} + z^{- 2} + 0$

Paso 3.8

Suma $z^{- 2}$ y $0$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} + z^{- 2}$

Paso 4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(z - 1)}^{2}} + z^{- 2}$

Paso 5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(z - 1)}^{2}} + \frac{1}{z^{2}}$

Paso 6

Reordena los términos.

$\frac{1}{z^{2}} - \frac{1}{{(z - 1)}^{2}}$