Cálculo Ejemplos

$\ln^{7} (z) + \ln (z^{7})$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\ln^{7} (z) + \ln (z^{7})$ con respecto a $z$ es $\frac{d}{d z} [\ln^{7} (z)] + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$ .

$\frac{d}{d z} [\ln^{7} (z)] + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d z} [\ln^{7} (z)]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ es $f' (g (z)) g' (z)$ donde $f (z) = z^{7}$ y $g (z) = \ln (z)$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\ln (z)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{7}] \frac{d}{d z} [\ln (z)] + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$7 {u_{1}}^{6} \frac{d}{d z} [\ln (z)] + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\ln (z)$ .

$7 \ln^{6} (z) \frac{d}{d z} [\ln (z)] + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (z)$ con respecto a $z$ es $\frac{1}{z}$ .

$7 \ln^{6} (z) \frac{1}{z} + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

Paso 2.3

Combina $\frac{1}{z}$ y $7$ .

$\frac{7}{z} \ln^{6} (z) + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

Paso 2.4

Combina $\frac{7}{z}$ y $\ln^{6} (z)$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$ .

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ es $f' (g (z)) g' (z)$ donde $f (z) = \ln (z)$ y $g (z) = z^{7}$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $z^{7}$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d z} [z^{7}]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d z} [z^{7}]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $z^{7}$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{1}{z^{7}} \frac{d}{d z} [z^{7}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{1}{z^{7}} (7 z^{6})$

Paso 3.3

Combina $7$ y $\frac{1}{z^{7}}$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{7}{z^{7}} z^{6}$

Paso 3.4

Combina $\frac{7}{z^{7}}$ y $z^{6}$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{7 z^{6}}{z^{7}}$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $z^{6}$ y $z^{7}$ .

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Paso 3.5.1

Factoriza $z^{6}$ de $7 z^{6}$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{z^{6} \cdot 7}{z^{7}}$

Paso 3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $z^{6}$ de $z^{7}$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{z^{6} \cdot 7}{z^{6} z}$

Paso 3.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{z^{6} \cdot 7}{z^{6} z}$

Paso 3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{7}{z}$