Cálculo Ejemplos

$f (z) = \frac{z^{2} + 1}{3 z}$

Paso 1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $\frac{z^{2} + 1}{3 z}$ con respecto a $z$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d z} [\frac{z^{2} + 1}{z}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d z} [\frac{z^{2} + 1}{z}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ es $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ donde $f (z) = z^{2} + 1$ y $g (z) = z$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z \frac{d}{d z} [z^{2} + 1] - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $z^{2} + 1$ con respecto a $z$ es $\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z (\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z (2 z + \frac{d}{d z} [1]) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Paso 3.3

Como $1$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $1$ con respecto a $z$ es $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z (2 z + 0) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Paso 3.4

Suma $2 z$ y $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z (2 z) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Paso 4

Eleva $z$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (z^{1} z) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Paso 5

Eleva $z$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (z^{1} z^{1}) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Paso 6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 z^{1 + 1} - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Paso 7

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1) \cdot 1}{z^{2}}$

Paso 9

Combina fracciones.

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Paso 9.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1)}{z^{2}}$

Paso 9.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1)}{z^{2}}$ .

$\frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1)}{3 z^{2}}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 z^{2} - z^{2} - 1 \cdot 1}{3 z^{2}}$

Paso 10.2

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 z^{2} - z^{2} - 1}{3 z^{2}}$

Paso 10.2.2

Resta $z^{2}$ de $2 z^{2}$ .

$\frac{z^{2} - 1}{3 z^{2}}$

Paso 10.3

Simplifica el numerador.

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Paso 10.3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{z^{2} - 1^{2}}{3 z^{2}}$

Paso 10.3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = z$ y $b = 1$ .

$\frac{(z + 1) (z - 1)}{3 z^{2}}$