Cálculo Ejemplos

$\ln (\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ es $f' (g (z)) g' (z)$ donde $f (z) = \ln (z)$ y $g (z) = \frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

Paso 2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ .

$1 \frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

Paso 3

Multiplica $\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}}$ por $1$ .

$\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

Paso 4

Como $x^{40} y^{30}$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ con respecto a $z$ es $x^{40} y^{30} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$ .

$\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}} (x^{40} y^{30} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}])$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Combina $x^{40}$ y $\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}}$ .

$\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40} y^{30}} (y^{30} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}])$

Paso 5.2

Combina $y^{30}$ y $\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40} y^{30}}$ .

$\frac{y^{30} (x^{40} z^{20})}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $y^{30}$ .

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{30} x^{40} z^{20}}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

Paso 5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $x^{40}$ .

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Paso 5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

Paso 5.4.2

Divide $z^{20}$ por $1$ .

$z^{20} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

Paso 5.5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.5.1

Reescribe $\frac{1}{z^{20}}$ como ${(z^{20})}^{- 1}$ .

$z^{20} \frac{d}{d z} [{(z^{20})}^{- 1}]$

Paso 5.5.2

Multiplica los exponentes en ${(z^{20})}^{- 1}$ .

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Paso 5.5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{20} \frac{d}{d z} [z^{20 \cdot - 1}]$

Paso 5.5.2.2

Multiplica $20$ por $- 1$ .

$z^{20} \frac{d}{d z} [z^{- 20}]$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = - 20$ .

$z^{20} (- 20 z^{- 21})$

Paso 7

Multiplica $z^{20}$ por $z^{- 21}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1

Mueve $z^{- 21}$ .

$z^{- 21} z^{20} \cdot - 20$

Paso 7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$z^{- 21 + 20} \cdot - 20$

Paso 7.3

Suma $- 21$ y $20$ .

$z^{- 1} \cdot - 20$

Paso 8

Mueve $- 20$ a la izquierda de $z^{- 1}$ .

$- 20 \cdot z^{- 1}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 20 \frac{1}{z}$

Paso 9.2

Combina los términos.

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Paso 9.2.1

Combina $- 20$ y $\frac{1}{z}$ .

$\frac{- 20}{z}$

Paso 9.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{20}{z}$