Cálculo Ejemplos

$x z e^{y z}$

Paso 1

Como $x$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $x z e^{y z}$ con respecto a $z$ es $x \frac{d}{d z} [z e^{y z}]$ .

$x \frac{d}{d z} [z e^{y z}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ es $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ donde $f (z) = z$ y $g (z) = e^{y z}$ .

$x (z \frac{d}{d z} [e^{y z}] + e^{y z} \frac{d}{d z} [z])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ es $f' (g (z)) g' (z)$ donde $f (z) = e^{z}$ y $g (z) = y z$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y z$ .

$x (z (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d z} [y z]) + e^{y z} \frac{d}{d z} [z])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x (z (e^{u} \frac{d}{d z} [y z]) + e^{y z} \frac{d}{d z} [z])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y z$ .

$x (z (e^{y z} \frac{d}{d z} [y z]) + e^{y z} \frac{d}{d z} [z])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $y$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $y z$ con respecto a $z$ es $y \frac{d}{d z} [z]$ .

$x (z (e^{y z} (y \frac{d}{d z} [z])) + e^{y z} \frac{d}{d z} [z])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (z (e^{y z} (y \cdot 1)) + e^{y z} \frac{d}{d z} [z])$

Paso 4.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$x (z (e^{y z} y) + e^{y z} \frac{d}{d z} [z])$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (z (e^{y z} y) + e^{y z} \cdot 1)$

Paso 4.5

Multiplica $e^{y z}$ por $1$ .

$x (z (e^{y z} y) + e^{y z})$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (z (e^{y z} y)) + x e^{y z}$

Paso 5.2

Reordena los términos.

$e^{y z} x y z + e^{y z} x$

Paso 5.3

Reordena los factores en $e^{y z} x y z + e^{y z} x$ .

$x y z e^{y z} + x e^{y z}$