Cálculo Ejemplos

$y = 3 x e^{2 x^{5}}$

Paso 1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x e^{2 x^{5}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x e^{2 x^{5}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x e^{2 x^{5}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{2 x^{5}}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [e^{2 x^{5}}] + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x^{5}$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x^{5}$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$3 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x^{5}$ .

$3 (x (e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{5}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 (x (e^{2 x^{5}} (2 \frac{d}{d x} [x^{5}])) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$3 (x (e^{2 x^{5}} (2 (5 x^{4}))) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3

Multiplica $5$ por $2$ .

$3 (x (e^{2 x^{5}} (10 x^{4})) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$3 (x^{4} x^{1} (e^{2 x^{5}} \cdot (10)) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 (x^{4 + 1} (e^{2 x^{5}} \cdot (10)) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Suma $4$ y $1$ .

$3 (x^{5} (e^{2 x^{5}} \cdot (10)) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7.2

Mueve $10$ a la izquierda de $e^{2 x^{5}}$ .

$3 (x^{5} (10 \cdot e^{2 x^{5}}) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (x^{5} (10 e^{2 x^{5}}) + e^{2 x^{5}} \cdot 1)$

Paso 9

Multiplica $e^{2 x^{5}}$ por $1$ .

$3 (x^{5} (10 e^{2 x^{5}}) + e^{2 x^{5}})$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (x^{5} (10 e^{2 x^{5}})) + 3 e^{2 x^{5}}$

Paso 10.2

Multiplica $10$ por $3$ .

$30 x^{5} e^{2 x^{5}} + 3 e^{2 x^{5}}$

Paso 10.3

Reordena los términos.

$30 e^{2 x^{5}} x^{5} + 3 e^{2 x^{5}}$

Paso 10.4

Reordena los factores en $30 e^{2 x^{5}} x^{5} + 3 e^{2 x^{5}}$ .

$30 x^{5} e^{2 x^{5}} + 3 e^{2 x^{5}}$