Cálculo Ejemplos

$y = 3 x (2 x^{4} - 6 x)$

Paso 1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x (2 x^{4} - 6 x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x (2 x^{4} - 6 x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x (2 x^{4} - 6 x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 2 x^{4} - 6 x$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x] + (2 x^{4} - 6 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{4} - 6 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$3 (x (\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]) + (2 x^{4} - 6 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{4}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 (x (2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]) + (2 x^{4} - 6 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$3 (x (2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 6 x]) + (2 x^{4} - 6 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4

Multiplica $4$ por $2$ .

$3 (x (8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x]) + (2 x^{4} - 6 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.5

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x (8 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x]) + (2 x^{4} - 6 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (x (8 x^{3} - 6 \cdot 1) + (2 x^{4} - 6 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.7

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$3 (x (8 x^{3} - 6) + (2 x^{4} - 6 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (x (8 x^{3} - 6) + (2 x^{4} - 6 x) \cdot 1)$

Paso 3.9

Multiplica $2 x^{4} - 6 x$ por $1$ .

$3 (x (8 x^{3} - 6) + 2 x^{4} - 6 x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (x (8 x^{3}) + x \cdot - 6 + 2 x^{4} - 6 x)$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (x (8 x^{3})) + 3 (x \cdot - 6) + 3 (2 x^{4}) + 3 (- 6 x)$

Paso 4.3

Combina los términos.

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Paso 4.3.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$3 (8 (x^{1} x^{3})) + 3 (x \cdot - 6) + 3 (2 x^{4}) + 3 (- 6 x)$

Paso 4.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 (8 x^{1 + 3}) + 3 (x \cdot - 6) + 3 (2 x^{4}) + 3 (- 6 x)$

Paso 4.3.3

Suma $1$ y $3$ .

$3 (8 x^{4}) + 3 (x \cdot - 6) + 3 (2 x^{4}) + 3 (- 6 x)$

Paso 4.3.4

Multiplica $8$ por $3$ .

$24 x^{4} + 3 (x \cdot - 6) + 3 (2 x^{4}) + 3 (- 6 x)$

Paso 4.3.5

Mueve $- 6$ a la izquierda de $x$ .

$24 x^{4} + 3 (- 6 \cdot x) + 3 (2 x^{4}) + 3 (- 6 x)$

Paso 4.3.6

Multiplica $- 6$ por $3$ .

$24 x^{4} - 18 x + 3 (2 x^{4}) + 3 (- 6 x)$

Paso 4.3.7

Multiplica $2$ por $3$ .

$24 x^{4} - 18 x + 6 x^{4} + 3 (- 6 x)$

Paso 4.3.8

Suma $24 x^{4}$ y $6 x^{4}$ .

$30 x^{4} - 18 x + 3 (- 6 x)$

Paso 4.3.9

Multiplica $- 6$ por $3$ .

$30 x^{4} - 18 x - 18 x$

Paso 4.3.10

Resta $18 x$ de $- 18 x$ .

$30 x^{4} - 36 x$