Cálculo Ejemplos

$y = 4 \ln (x^{2} e^{x})$

Paso 1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \ln (x^{2} e^{x})$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} e^{x})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} e^{x})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2} e^{x}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} e^{x}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}])$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} e^{x}$ .

$4 (\frac{1}{x^{2} e^{x}} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}])$

Paso 3

Combina $\frac{1}{x^{2} e^{x}}$ y $4$ .

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Paso 4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 5

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x))$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x}) + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Paso 7.2

Combina los términos.

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Paso 7.2.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{4}{x^{2} e^{x}}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} e^{x}} e^{x} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Paso 7.2.2

Combina $\frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} e^{x}}$ y $e^{x}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4 e^{x}}{x^{2} e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Paso 7.2.3

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot x^{2} e^{x}}{x^{2} e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Paso 7.2.4

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 7.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{2} e^{x}}{x^{2} e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Paso 7.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 e^{x}}{e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Paso 7.2.5

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

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Paso 7.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 e^{x}}{e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Paso 7.2.5.2

Divide $4$ por $1$ .

$4 + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Paso 7.2.6

Combina $e^{x}$ y $\frac{4}{x^{2} e^{x}}$ .

$4 + \frac{e^{x} \cdot 4}{x^{2} e^{x}} (2 x)$

Paso 7.2.7

Combina $2$ y $\frac{e^{x} \cdot 4}{x^{2} e^{x}}$ .

$4 + \frac{2 (e^{x} \cdot 4)}{x^{2} e^{x}} x$

Paso 7.2.8

Multiplica $4$ por $2$ .

$4 + \frac{8 e^{x}}{x^{2} e^{x}} x$

Paso 7.2.9

Combina $\frac{8 e^{x}}{x^{2} e^{x}}$ y $x$ .

$4 + \frac{8 e^{x} x}{x^{2} e^{x}}$

Paso 7.2.10

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

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Paso 7.2.10.1

Cancela el factor común.

$4 + \frac{8 e^{x} x}{x^{2} e^{x}}$

Paso 7.2.10.2

Reescribe la expresión.

$4 + \frac{8 x}{x^{2}}$

Paso 7.2.11

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 7.2.11.1

Factoriza $x$ de $8 x$ .

$4 + \frac{x \cdot 8}{x^{2}}$

Paso 7.2.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.11.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$4 + \frac{x \cdot 8}{x \cdot x}$

Paso 7.2.11.2.2

Cancela el factor común.

$4 + \frac{x \cdot 8}{x \cdot x}$

Paso 7.2.11.2.3

Reescribe la expresión.

$4 + \frac{8}{x}$

Paso 7.3

Reordena los términos.

$\frac{8}{x} + 4$