Cálculo Ejemplos

$y = 4 x^{3} \ln (2 x^{5})$

Paso 1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3} \ln (2 x^{5})$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (2 x^{5})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (2 x^{5})]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \ln (2 x^{5})$ .

$4 (x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{5})] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 2 x^{5}$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x^{5}$ .

$4 (x^{3} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$4 (x^{3} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x^{5}$ .

$4 (x^{3} (\frac{1}{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Combina $\frac{1}{2 x^{5}}$ y $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x^{5}$ .

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Paso 4.2.1

Multiplica por $1$ .

$4 (\frac{x^{3} \cdot 1}{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.1

Factoriza $x^{3}$ de $2 x^{5}$ .

$4 (\frac{x^{3} \cdot 1}{x^{3} (2 x^{2})} \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 4.2.2.2

Cancela el factor común.

$4 (\frac{x^{3} \cdot 1}{x^{3} (2 x^{2})} \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$4 (\frac{1}{2 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 4.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{5}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$4 (\frac{1}{2 x^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 4.4

Simplifica los términos.

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Paso 4.4.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$4 (\frac{2}{2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 4.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.4.2.1

Cancela el factor común.

$4 (\frac{2}{2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 4.4.2.2

Reescribe la expresión.

$4 (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$4 (\frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 4.6

Simplifica los términos.

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Paso 4.6.1

Combina $5$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$4 (\frac{5}{x^{2}} x^{4} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 4.6.2

Combina $\frac{5}{x^{2}}$ y $x^{4}$ .

$4 (\frac{5 x^{4}}{x^{2}} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 4.6.3

Cancela el factor común de $x^{4}$ y $x^{2}$ .

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Paso 4.6.3.1

Factoriza $x^{2}$ de $5 x^{4}$ .

$4 (\frac{x^{2} (5 x^{2})}{x^{2}} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 4.6.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.6.3.2.1

Multiplica por $1$ .

$4 (\frac{x^{2} (5 x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 4.6.3.2.2

Cancela el factor común.

$4 (\frac{x^{2} (5 x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 4.6.3.2.3

Reescribe la expresión.

$4 (\frac{5 x^{2}}{1} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 4.6.3.2.4

Divide $5 x^{2}$ por $1$ .

$4 (5 x^{2} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 (5 x^{2} + \ln (2 x^{5}) (3 x^{2}))$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (5 x^{2}) + 4 (\ln (2 x^{5}) (3 x^{2}))$

Paso 5.2

Combina los términos.

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Paso 5.2.1

Multiplica $5$ por $4$ .

$20 x^{2} + 4 (\ln (2 x^{5}) (3 x^{2}))$

Paso 5.2.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$20 x^{2} + 12 \ln (2 x^{5}) x^{2}$

Paso 5.3

Reordena los términos.

$20 x^{2} + 12 x^{2} \ln (2 x^{5})$