Cálculo Ejemplos

$y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$

Paso 1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{4})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{4})]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \ln (\frac{x}{4})$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{4})] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{x}{4}$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{4}$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$5 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{4}$ .

$5 (x^{2} (\frac{1}{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{x}{4}$ .

$5 (x^{2} (1 \frac{4}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{4}{x}$ por $1$ .

$5 (x^{2} (\frac{4}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 5.2

Combina $\frac{4}{x}$ y $x^{2}$ .

$5 (\frac{4 x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $x$ de $4 x^{2}$ .

$5 (\frac{x (4 x)}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 5.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$5 (\frac{x (4 x)}{x^{1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 5.3.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$5 (\frac{x (4 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 5.3.2.3

Cancela el factor común.

$5 (\frac{x (4 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 5.3.2.4

Reescribe la expresión.

$5 (\frac{4 x}{1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 5.3.2.5

Divide $4 x$ por $1$ .

$5 (4 x \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 6

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (4 x (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$5 (x (\frac{4}{4} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 7.2

Combina $\frac{4}{4}$ y $x$ .

$5 (\frac{4 x}{4} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 7.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.3.1

Cancela el factor común.

$5 (\frac{4 x}{4} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 7.3.2

Divide $x$ por $1$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 (x \cdot 1 + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 9

Multiplica $x$ por $1$ .

$5 (x + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 (x + \ln (\frac{x}{4}) (2 x))$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x + 5 (\ln (\frac{x}{4}) (2 x))$

Paso 11.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$5 x + 10 \ln (\frac{x}{4}) x$

Paso 11.3

Reordena los términos.

$10 x \ln (\frac{x}{4}) + 5 x$