Cálculo Ejemplos

$y = 5 x^{\frac{8}{5}} - 3 x^{\frac{5}{6}} + x^{\frac{1}{3}} + 5$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{\frac{8}{5}} - 3 x^{\frac{5}{6}} + x^{\frac{1}{3}} + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{8}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{8}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{8}{5}}]$ .

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Paso 2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{\frac{8}{5}}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{8}{5}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{8}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{8}{5}$ .

$5 (\frac{8}{5} x^{\frac{8}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$5 (\frac{8}{5} x^{\frac{8}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$5 (\frac{8}{5} x^{\frac{8}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 (\frac{8}{5} x^{\frac{8 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$5 (\frac{8}{5} x^{\frac{8 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.6.2

Resta $5$ de $8$ .

$5 (\frac{8}{5} x^{\frac{3}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.7

Combina $\frac{8}{5}$ y $x^{\frac{3}{5}}$ .

$5 \frac{8 x^{\frac{3}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.8

Combina $5$ y $\frac{8 x^{\frac{3}{5}}}{5}$ .

$\frac{5 (8 x^{\frac{3}{5}})}{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.9

Multiplica $8$ por $5$ .

$\frac{40 x^{\frac{3}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.10

Factoriza $5$ de $40 x^{\frac{3}{5}}$ .

$\frac{5 (8 x^{\frac{3}{5}})}{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.11

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.11.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$\frac{5 (8 x^{\frac{3}{5}})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.11.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 (8 x^{\frac{3}{5}})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.11.3

Reescribe la expresión.

$\frac{8 x^{\frac{3}{5}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.11.4

Divide $8 x^{\frac{3}{5}}$ por $1$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}]$ .

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Paso 3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{\frac{5}{6}}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{6}}]$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} - 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{6}$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} - 3 (\frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} - 3 (\frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.4

Combina $- 1$ y $\frac{6}{6}$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} - 3 (\frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 x^{\frac{3}{5}} - 3 (\frac{5}{6} x^{\frac{5 - 1 \cdot 6}{6}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} - 3 (\frac{5}{6} x^{\frac{5 - 6}{6}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.6.2

Resta $6$ de $5$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} - 3 (\frac{5}{6} x^{\frac{- 1}{6}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$8 x^{\frac{3}{5}} - 3 (\frac{5}{6} x^{- \frac{1}{6}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.8

Combina $\frac{5}{6}$ y $x^{- \frac{1}{6}}$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} - 3 \frac{5 x^{- \frac{1}{6}}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.9

Combina $- 3$ y $\frac{5 x^{- \frac{1}{6}}}{6}$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} + \frac{- 3 (5 x^{- \frac{1}{6}})}{6} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.10

Multiplica $5$ por $- 3$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} + \frac{- 15 x^{- \frac{1}{6}}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.11

Mueve $x^{- \frac{1}{6}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} + \frac{- 15}{6 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.12

Factoriza $3$ de $- 15$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} + \frac{3 (- 5)}{6 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.13.1

Factoriza $3$ de $6 x^{\frac{1}{6}}$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} + \frac{3 (- 5)}{3 (2 x^{\frac{1}{6}})} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.13.2

Cancela el factor común.

$8 x^{\frac{3}{5}} + \frac{3 \cdot - 5}{3 (2 x^{\frac{1}{6}})} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.13.3

Reescribe la expresión.

$8 x^{\frac{3}{5}} + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 4

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 4.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 4.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 4.5.2

Resta $3$ de $1$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 4.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 5

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + 0$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Paso 6.2

Combina los términos.

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Paso 6.2.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Paso 6.2.2

Suma $8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y $0$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 6.3

Reordena los términos.

$8 x^{\frac{3}{5}} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}}$