Cálculo Ejemplos

$y = 5 \cos (x) \sec (x^{2})$

Paso 1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 \cos (x) \sec (x^{2})$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sec (x^{2})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sec (x^{2})]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \sec (x^{2})$ .

$5 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x^{2})] + \sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$5 (\cos (x) (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 3.2

La derivada de $\sec (u)$ con respecto a $u$ es $\sec (u) \tan (u)$ .

$5 (\cos (x) (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$5 (\cos (x) (\sec (x^{2}) \tan (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 (\cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) (2 x) + \sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 5

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$5 (\cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) (2 x) + \sec (x^{2}) (- \sin (x)))$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (\cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) (2 x)) + 5 (\sec (x^{2}) (- \sin (x)))$

Paso 6.2

Combina los términos.

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Paso 6.2.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$10 (\cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) (x)) + 5 (\sec (x^{2}) (- \sin (x)))$

Paso 6.2.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$10 \cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) x - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Paso 6.3

Reordena los términos.

$10 x \cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Paso 6.4

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.1

Reescribe $\sec (x^{2})$ en términos de senos y cosenos.

$10 x \cos (x) \frac{1}{\cos (x^{2})} \tan (x^{2}) - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Paso 6.4.2

Multiplica $10 x \cos (x) \frac{1}{\cos (x^{2})}$ .

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Paso 6.4.2.1

Combina $10$ y $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ .

$x \cos (x) \frac{10}{\cos (x^{2})} \tan (x^{2}) - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Paso 6.4.2.2

Combina $\frac{10}{\cos (x^{2})}$ y $x$ .

$\frac{10 x}{\cos (x^{2})} \cos (x) \tan (x^{2}) - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Paso 6.4.2.3

Combina $\frac{10 x}{\cos (x^{2})}$ y $\cos (x)$ .

$\frac{10 x \cos (x)}{\cos (x^{2})} \tan (x^{2}) - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Paso 6.4.3

Reescribe $\tan (x^{2})$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{10 x \cos (x)}{\cos (x^{2})} \cdot \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Paso 6.4.4

Combinar.

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos (x^{2}) \cos (x^{2})} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Paso 6.4.5

Simplifica el denominador.

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Paso 6.4.5.1

Eleva $\cos (x^{2})$ a la potencia de $1$ .

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{1} (x^{2}) \cos (x^{2})} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Paso 6.4.5.2

Eleva $\cos (x^{2})$ a la potencia de $1$ .

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{1} (x^{2}) \cos^{1} (x^{2})} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Paso 6.4.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{{\cos (x^{2})}^{1 + 1}} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Paso 6.4.5.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Paso 6.4.6

Reescribe $\sec (x^{2})$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} - 5 \frac{1}{\cos (x^{2})} \sin (x)$

Paso 6.4.7

Combina $- 5$ y $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ .

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} + \frac{- 5}{\cos (x^{2})} \sin (x)$

Paso 6.4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} - \frac{5}{\cos (x^{2})} \sin (x)$

Paso 6.4.9

Combina $\sin (x)$ y $\frac{5}{\cos (x^{2})}$ .

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} - \frac{\sin (x) \cdot 5}{\cos (x^{2})}$

Paso 6.4.10

Mueve $5$ a la izquierda de $\sin (x)$ .

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Paso 6.5

Simplifica cada término.

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Paso 6.5.1

Factoriza $\cos (x^{2})$ de $\cos^{2} (x^{2})$ .

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos (x^{2}) \cos (x^{2})} - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Paso 6.5.2

Separa las fracciones.

$\frac{10 x \sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x^{2})} - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Paso 6.5.3

Reescribe $\frac{\cos (x)}{\cos (x^{2})}$ como un producto.

$\frac{10 x \sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} (\cos (x) \frac{1}{\cos (x^{2})}) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Paso 6.5.4

Escribe $\cos (x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{10 x \sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x^{2})}) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Paso 6.5.5

Simplifica.

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Paso 6.5.5.1

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\frac{10 x \sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} (\cos (x) \frac{1}{\cos (x^{2})}) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Paso 6.5.5.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ a $\sec (x^{2})$ .

$\frac{10 x \sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} (\cos (x) \sec (x^{2})) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Paso 6.5.6

Separa las fracciones.

$\frac{10 x}{1} \cdot \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} (\cos (x) \sec (x^{2})) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Paso 6.5.7

Convierte de $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ a $\tan (x^{2})$ .

$\frac{10 x}{1} \tan (x^{2}) (\cos (x) \sec (x^{2})) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Paso 6.5.8

Divide $10 x$ por $1$ .

$10 x \tan (x^{2}) (\cos (x) \sec (x^{2})) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Paso 6.5.9

Separa las fracciones.

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (\frac{5}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x^{2})})$

Paso 6.5.10

Reescribe $\frac{\sin (x)}{\cos (x^{2})}$ como un producto.

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (\frac{5}{1} (\sin (x) \frac{1}{\cos (x^{2})}))$

Paso 6.5.11

Escribe $\sin (x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (\frac{5}{1} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x^{2})}))$

Paso 6.5.12

Simplifica.

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Paso 6.5.12.1

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (\frac{5}{1} (\sin (x) \frac{1}{\cos (x^{2})}))$

Paso 6.5.12.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ a $\sec (x^{2})$ .

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (\frac{5}{1} (\sin (x) \sec (x^{2})))$

Paso 6.5.13

Divide $5$ por $1$ .

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (5 (\sin (x) \sec (x^{2})))$

Paso 6.5.14

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - 5 \sin (x) \sec (x^{2})$