Cálculo Ejemplos

$y = 5 x e^{5 x} - e^{5 x}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x e^{5 x} - e^{5 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x e^{5 x}]$ .

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Paso 2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x e^{5 x}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x e^{5 x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{5 x}$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [e^{5 x}] + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $5 x$ .

$5 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$5 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $5 x$ .

$5 (x (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Paso 2.4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 (x (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 (x (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Paso 2.7

Multiplica $5$ por $1$ .

$5 (x (e^{5 x} \cdot 5) + e^{5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Paso 2.8

Mueve $5$ a la izquierda de $e^{5 x}$ .

$5 (x (5 \cdot e^{5 x}) + e^{5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Paso 2.9

Multiplica $e^{5 x}$ por $1$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$ .

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Paso 3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{5 x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $5 x$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $5 x$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 3.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (e^{5 x} (5 \cdot 1))$

Paso 3.5

Multiplica $5$ por $1$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (e^{5 x} \cdot 5)$

Paso 3.6

Mueve $5$ a la izquierda de $e^{5 x}$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (5 \cdot e^{5 x})$

Paso 3.7

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - 5 e^{5 x}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (x (5 e^{5 x})) + 5 e^{5 x} - 5 e^{5 x}$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$25 (x (e^{5 x})) + 5 e^{5 x} - 5 e^{5 x}$

Paso 4.2.2

Resta $5 e^{5 x}$ de $5 e^{5 x}$ .

$25 x e^{5 x} + 0$

Paso 4.2.3

Suma $25 x e^{5 x}$ y $0$ .

$25 x e^{5 x}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $25 x e^{5 x}$ .

$25 e^{5 x} x$

Paso 4.4

Reordena los factores en $25 e^{5 x} x$ .

$25 x e^{5 x}$