Cálculo Ejemplos

$y = 5 \sec (3 x) + 5 x^{3}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 \sec (3 x) + 5 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 \sec (3 x)] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 \sec (3 x)] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 \sec (3 x)]$ .

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Paso 2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 \sec (3 x)$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\sec (3 x)] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$5 (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Paso 2.2.2

La derivada de $\sec (u)$ con respecto a $u$ es $\sec (u) \tan (u)$ .

$5 (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$5 (\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Paso 2.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 (\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Paso 2.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$5 (\sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Paso 2.6

Mueve $3$ a la izquierda de $\sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$5 (3 \cdot (\sec (3 x) \tan (3 x))) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Paso 2.7

Multiplica $3$ por $5$ .

$15 \sec (3 x) \tan (3 x) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

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Paso 3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{3}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 \sec (3 x) \tan (3 x) + 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$15 \sec (3 x) \tan (3 x) + 5 (3 x^{2})$

Paso 3.3

Multiplica $3$ por $5$ .

$15 \sec (3 x) \tan (3 x) + 15 x^{2}$

Paso 4

Reordena los términos.

$15 x^{2} + 15 \sec (3 x) \tan (3 x)$