Cálculo Ejemplos

$y = 5 x^{2} - 5 \sqrt{x} - \frac{3}{x}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{2} - 5 \sqrt{x} - \frac{3}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Paso 2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Paso 2.3

Multiplica $2$ por $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{x}]$ .

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Paso 3.2

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$10 x - 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$10 x - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Paso 3.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$10 x - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Paso 3.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$10 x - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Paso 3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$10 x - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Paso 3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$10 x - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Paso 3.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$10 x - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Paso 3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$10 x - 5 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Paso 3.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$10 x - 5 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Paso 3.10

Combina $- 5$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$10 x + \frac{- 5 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Paso 3.11

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 x + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Paso 3.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$10 x - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Paso 4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$ .

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Paso 4.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{3}{x}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$10 x - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 4.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$10 x - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$10 x - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- x^{- 2})$

Paso 4.4

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$10 x - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{- 2}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 x - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 5.2

Combina $3$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$10 x - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{x^{2}}$

Paso 5.3

Reordena los términos.

$10 x + \frac{3}{x^{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$