Cálculo Ejemplos

$y = 2 x e^{- k x}$

Paso 1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x e^{- k x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x e^{- k x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x e^{- k x}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{- k x}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [e^{- k x}] + e^{- k x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - k x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- k x$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- k x]) + e^{- k x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- k x]) + e^{- k x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- k x$ .

$2 (x (e^{- k x} \frac{d}{d x} [- k x]) + e^{- k x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $- k$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- k x$ con respecto a $x$ es $- k \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (e^{- k x} (- k \frac{d}{d x} [x])) + e^{- k x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (x (e^{- k x} (- k \cdot 1)) + e^{- k x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 (x (e^{- k x} (- k)) + e^{- k x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (x (e^{- k x} (- k)) + e^{- k x} \cdot 1)$

Paso 4.5

Multiplica $e^{- k x}$ por $1$ .

$2 (x (e^{- k x} (- k)) + e^{- k x})$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (x (e^{- k x} (- k))) + 2 e^{- k x}$

Paso 5.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 x (e^{- k x} (k)) + 2 e^{- k x}$

Paso 5.3

Reordena los términos.

$- 2 e^{- k x} k x + 2 e^{- k x}$

Paso 5.4

Reordena los factores en $- 2 e^{- k x} k x + 2 e^{- k x}$ .

$- 2 k x e^{- k x} + 2 e^{- k x}$