Cálculo Ejemplos

$y = 2 x (\sqrt{x} - x^{2} + 3 x - 5)$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5)]$

Paso 1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5] + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$2 (x (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 (x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 (x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$2 (x (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 (x (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (x (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 8.3

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 11

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 12

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 14

Multiplica $3$ por $1$ .

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 15

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x + 3 + 0) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 16

Suma $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x + 3$ y $0$ .

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x + 3) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 17

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x + 3) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \cdot 1)$

Paso 18

Multiplica $x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5$ por $1$ .

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x + 3) + x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5)$

Paso 19

Simplifica.

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Paso 19.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x (- 2 x) + x \cdot 3 + x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5)$

Paso 19.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Paso 19.3

Combina los términos.

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Paso 19.3.1

Combina $x$ y $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Paso 19.3.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Paso 19.3.3

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 19.3.3.1

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 19.3.3.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Paso 19.3.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Paso 19.3.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$2 \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Paso 19.3.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Paso 19.3.3.4

Resta $1$ de $2$ .

$2 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Paso 19.3.4

Combina $2$ y $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Paso 19.3.5

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Paso 19.3.6

Divide $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Paso 19.3.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 2 (x^{1} x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Paso 19.3.8

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 2 (x^{1} x^{1})) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Paso 19.3.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 2 x^{1 + 1}) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Paso 19.3.10

Suma $1$ y $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Paso 19.3.11

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{2} + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Paso 19.3.12

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{2} + 2 (3 \cdot x) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Paso 19.3.13

Multiplica $3$ por $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{2} + 6 x + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Paso 19.3.14

Suma $x^{\frac{1}{2}}$ y $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 x^{2} + 6 x + 3 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Paso 19.3.15

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 4 x^{2} + 6 x + 3 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{2} + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Paso 19.3.16

Resta $2 x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$- 6 x^{2} + 6 x + 3 x^{\frac{1}{2}} + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Paso 19.3.17

Multiplica $3$ por $2$ .

$- 6 x^{2} + 6 x + 3 x^{\frac{1}{2}} + 6 x + 2 \cdot - 5$

Paso 19.3.18

Suma $6 x$ y $6 x$ .

$- 6 x^{2} + 12 x + 3 x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot - 5$

Paso 19.3.19

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$- 6 x^{2} + 12 x + 3 x^{\frac{1}{2}} - 10$