Cálculo Ejemplos

$y = 2 \sin (\frac{x}{2}) + 8 \cos (\frac{x}{2})$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \sin (\frac{x}{2}) + 8 \cos (\frac{x}{2})$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 \sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \sin (\frac{x}{2})]$ .

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Paso 2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \sin (\frac{x}{2})$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\frac{x}{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Paso 2.2.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$2 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\frac{x}{2}$ .

$2 (\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Paso 2.3

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Paso 2.5

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$2 (\cos (\frac{x}{2}) \frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Paso 2.6

Combina $\cos (\frac{x}{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Paso 2.7

Combina $2$ y $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{2 \cos (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Paso 2.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.8.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Paso 2.8.2

Divide $\cos (\frac{x}{2})$ por $1$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$ .

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Paso 3.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 \cos (\frac{x}{2})$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Paso 3.2.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Paso 3.3

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 (- \sin (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 (- \sin (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1))$

Paso 3.5

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{1}{2})$

Paso 3.6

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (\frac{x}{2})$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 (- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2})$

Paso 3.7

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\cos (\frac{x}{2}) - 8 \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$

Paso 3.8

Combina $- 8$ y $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + \frac{- 8 \sin (\frac{x}{2})}{2}$

Paso 3.9

Cancela el factor común de $- 8$ y $2$ .

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Paso 3.9.1

Factoriza $2$ de $- 8 \sin (\frac{x}{2})$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + \frac{2 (- 4 \sin (\frac{x}{2}))}{2}$

Paso 3.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.9.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + \frac{2 (- 4 \sin (\frac{x}{2}))}{2 (1)}$

Paso 3.9.2.2

Cancela el factor común.

$\cos (\frac{x}{2}) + \frac{2 (- 4 \sin (\frac{x}{2}))}{2 \cdot 1}$

Paso 3.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\cos (\frac{x}{2}) + \frac{- 4 \sin (\frac{x}{2})}{1}$

Paso 3.9.2.4

Divide $- 4 \sin (\frac{x}{2})$ por $1$ .

$\cos (\frac{x}{2}) - 4 \sin (\frac{x}{2})$