Cálculo Ejemplos

$y = 3 x^{2} (2 x + 1)$

Paso 1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2} (2 x + 1)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2} (2 x + 1)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} (2 x + 1)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 2 x + 1$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 (x^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (x^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$3 (x^{2} (2 + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 (x^{2} (2 + 0) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.1

Suma $2$ y $0$ .

$3 (x^{2} \cdot 2 + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$3 (2 \cdot x^{2} + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 x^{2} + (2 x + 1) (2 x))$

Paso 3.8

Mueve $2$ a la izquierda de $2 x + 1$ .

$3 (2 x^{2} + 2 \cdot (2 x + 1) x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (2 x^{2} + (2 (2 x) + 2 \cdot 1) x)$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (2 x^{2} + 2 (2 x) x + 2 \cdot 1 x)$

Paso 4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (2 x^{2}) + 3 (2 (2 x) x) + 3 (2 \cdot 1 x)$

Paso 4.4

Combina los términos.

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Paso 4.4.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x^{2} + 3 (2 (2 x) x) + 3 (2 \cdot 1 x)$

Paso 4.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$6 x^{2} + 3 (4 x \cdot x) + 3 (2 \cdot 1 x)$

Paso 4.4.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$6 x^{2} + 3 (4 (x^{1} x)) + 3 (2 \cdot 1 x)$

Paso 4.4.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$6 x^{2} + 3 (4 (x^{1} x^{1})) + 3 (2 \cdot 1 x)$

Paso 4.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 x^{2} + 3 (4 x^{1 + 1}) + 3 (2 \cdot 1 x)$

Paso 4.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$6 x^{2} + 3 (4 x^{2}) + 3 (2 \cdot 1 x)$

Paso 4.4.7

Multiplica $4$ por $3$ .

$6 x^{2} + 12 x^{2} + 3 (2 \cdot 1 x)$

Paso 4.4.8

Multiplica $2$ por $1$ .

$6 x^{2} + 12 x^{2} + 3 (2 x)$

Paso 4.4.9

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x^{2} + 12 x^{2} + 6 x$

Paso 4.4.10

Suma $6 x^{2}$ y $12 x^{2}$ .

$18 x^{2} + 6 x$