Cálculo Ejemplos

$y = 3 e^{2 x} \arcsin (x)$

Paso 1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 e^{2 x} \arcsin (x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [e^{2 x} \arcsin (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{2 x} \arcsin (x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{2 x}$ y $g (x) = \arcsin (x)$ .

$3 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Paso 3

La derivada de $\arcsin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$3 (e^{2 x} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Paso 4

Combina $e^{2 x}$ y $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Paso 5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]))$

Paso 5.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]))$

Paso 5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]))$

Paso 6

Diferencia.

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Paso 6.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])))$

Paso 6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

Paso 6.3

Simplifica la expresión.

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Paso 6.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (e^{2 x} \cdot 2))$

Paso 6.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (2 \cdot e^{2 x}))$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 3 (\arcsin (x) (2 e^{2 x}))$

Paso 7.2

Combina los términos.

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Paso 7.2.1

Combina $3$ y $\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{3 e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 3 (\arcsin (x) (2 e^{2 x}))$

Paso 7.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{3 e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 6 \arcsin (x) e^{2 x}$

Paso 7.3

Reordena los términos.

$6 e^{2 x} \arcsin (x) + \frac{3 e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$