Cálculo Ejemplos

$y = 3 e^{\frac{6}{x}}$

Paso 1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 e^{\frac{6}{x}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [e^{\frac{6}{x}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{\frac{6}{x}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \frac{6}{x}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{6}{x}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{6}{x}])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$3 (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{6}{x}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{6}{x}$ .

$3 (e^{\frac{6}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{6}{x}])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{6}{x}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 e^{\frac{6}{x}} (6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Paso 3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.1

Multiplica $6$ por $3$ .

$18 e^{\frac{6}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$18 e^{\frac{6}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$18 e^{\frac{6}{x}} (- x^{- 2})$

Paso 3.4

Multiplica $- 1$ por $18$ .

$- 18 e^{\frac{6}{x}} x^{- 2}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 18 e^{\frac{6}{x}} \frac{1}{x^{2}}$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $- 18$ .

$\frac{- 18}{x^{2}} e^{\frac{6}{x}}$

Paso 4.2.2

Combina $\frac{- 18}{x^{2}}$ y $e^{\frac{6}{x}}$ .

$\frac{- 18 e^{\frac{6}{x}}}{x^{2}}$

Paso 4.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{18 e^{\frac{6}{x}}}{x^{2}}$