Cálculo Ejemplos

$y = 3 (4 x + \ln ({(x^{2})}^{2}))$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [3 (4 x + \ln (x^{2 \cdot 2}))]$

Paso 1.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [3 (4 x + \ln (x^{4}))]$

Paso 1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 (4 x + \ln (x^{4}))$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [4 x + \ln (x^{4})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [4 x + \ln (x^{4})]$

Paso 1.3

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x + \ln (x^{4})$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})]$ .

$3 (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})])$

Paso 1.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})])$

Paso 1.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})])$

Paso 1.6

Multiplica $4$ por $1$ .

$3 (4 + \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})])$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{4}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{4}$ .

$3 (4 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$3 (4 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4}$ .

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Paso 2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (4 + \frac{1}{x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$3 (4 + \frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$3 (4 + \frac{1}{x^{4}} (4 x^{3}))$

Paso 3.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.1

Combina $4$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$3 (4 + \frac{4}{x^{4}} x^{3})$

Paso 3.2.2

Combina $\frac{4}{x^{4}}$ y $x^{3}$ .

$3 (4 + \frac{4 x^{3}}{x^{4}})$

Paso 3.2.3

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x^{4}$ .

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Paso 3.2.3.1

Factoriza $x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$3 (4 + \frac{x^{3} \cdot 4}{x^{4}})$

Paso 3.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.3.2.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{4}$ .

$3 (4 + \frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x})$

Paso 3.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$3 (4 + \frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x})$

Paso 3.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$3 (4 + \frac{4}{x})$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \cdot 4 + 3 \frac{4}{x}$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 + 3 \frac{4}{x}$

Paso 4.2.2

Combina $3$ y $\frac{4}{x}$ .

$12 + \frac{3 \cdot 4}{x}$

Paso 4.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 + \frac{12}{x}$

Paso 4.3

Reordena los términos.

$\frac{12}{x} + 12$