Cálculo Ejemplos

$y = 2 e^{\sqrt{5 x}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5 x}$ como ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{{(5 x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 1.2

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.2.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{{(5 (x))}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 1.2.2

Aplica la regla del producto a $5 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 1.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$2 (e^{u} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Como $5^{\frac{1}{2}}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Paso 9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (5^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Paso 10

Combina $5^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} \frac{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 11

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12

Combina $\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ y $2$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 13

Combina $\frac{5^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ y $e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} \cdot 2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14

Mueve $2$ a la izquierda de $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 15

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16

Reescribe la expresión.

$\frac{5^{\frac{1}{2}} e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}}$