Cálculo Ejemplos

$y = \arctan (\frac{e^{2 x}}{3})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = \frac{e^{2 x}}{3}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\frac{e^{2 x}}{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{3}]$

Paso 1.2

La derivada de $\arctan (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{3}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\frac{e^{2 x}}{3}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{3}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{e^{2 x}}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2}} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2}}$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Combina $e^{2 x}$ y $\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$ .

$\frac{e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 4.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3

Combina $2$ y $\frac{e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \cdot 1$

Paso 4.5

Multiplica $\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$ por $1$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la regla del producto a $\frac{e^{2 x}}{3}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + \frac{{(e^{2 x})}^{2}}{3^{2}})}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 \cdot 1 + 3 \frac{{(e^{2 x})}^{2}}{3^{2}}}$

Paso 5.3

Combina los términos.

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Paso 5.3.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{{(e^{2 x})}^{2}}{3^{2}}}$

Paso 5.3.2

Multiplica los exponentes en ${(e^{2 x})}^{2}$ .

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Paso 5.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{e^{2 x \cdot 2}}{3^{2}}}$

Paso 5.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{e^{4 x}}{3^{2}}}$

Paso 5.3.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{e^{4 x}}{9}}$

Paso 5.3.4

Combina $3$ y $\frac{e^{4 x}}{9}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 e^{4 x}}{9}}$

Paso 5.3.5

Cancela el factor común de $3$ y $9$ .

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Paso 5.3.5.1

Factoriza $3$ de $3 e^{4 x}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 (e^{4 x})}{9}}$

Paso 5.3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.5.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 e^{4 x}}{3 \cdot 3}}$

Paso 5.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 e^{4 x}}{3 \cdot 3}}$

Paso 5.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{e^{4 x}}{3}}$

Paso 5.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.4.1

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 \cdot \frac{3}{3} + \frac{e^{4 x}}{3}}$

Paso 5.4.2

Combina $3$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{\frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{e^{4 x}}{3}}$

Paso 5.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 e^{2 x}}{\frac{3 \cdot 3 + e^{4 x}}{3}}$

Paso 5.4.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{\frac{9 + e^{4 x}}{3}}$

Paso 5.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 e^{2 x} \frac{3}{9 + e^{4 x}}$

Paso 5.6

Multiplica $2 e^{2 x} \frac{3}{9 + e^{4 x}}$ .

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Paso 5.6.1

Combina $\frac{3}{9 + e^{4 x}}$ y $2$ .

$\frac{3 \cdot 2}{9 + e^{4 x}} e^{2 x}$

Paso 5.6.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6}{9 + e^{4 x}} e^{2 x}$

Paso 5.6.3

Combina $\frac{6}{9 + e^{4 x}}$ y $e^{2 x}$ .

$\frac{6 e^{2 x}}{9 + e^{4 x}}$