Cálculo Ejemplos

$y = arccsc (\frac{x}{2})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = arccsc (x)$ y $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [arccsc (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 1.2

La derivada de $arccsc (u)$ con respecto a $u$ es $- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{x}{2} \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 2

Combina $\frac{x}{2}$ y $\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}$ .

$- \frac{1}{\frac{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}{2}$ .

$- (1 \frac{2}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 4

Multiplica $\frac{2}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}$ por $1$ .

$- \frac{2}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 5

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{2}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}$ .

$- \frac{2}{2 (x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1})} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{2}{2 x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.2.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{1}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} \cdot 1$

Paso 8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{1}{x \sqrt{\frac{x^{2}}{2^{2}} - 1}}$

Paso 9.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{1}{x \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - 1}}$